Calcule as integrais em coordenadas cilíndricas nos exercícios 1-6.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral em coordenadas cilíndricas! O enunciado pede para calcular duas integrais tripla com limites diferentes. Vamos precisar entender como funcionam as coordenadas cilíndricas e como configurar as integrais nessas coordenadas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Elas são definidas por
, onde:
-
é a distância radial do ponto até o eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a altura.
O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é dado por
.
Passo 3
Vamos analisar a primeira parte da integral:
Perceba que aqui temos
, que geralmente está associado às coordenadas esféricas. No entanto, como precisamos utilizar coordenadas cilíndricas, vamos ajustar a integral.
Passo 4
Em coordenadas esféricas, temos a relação entre
e
em coordenadas cilíndricas:
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo
. Para converter para coordenadas cilíndricas, usamos
.
Mas para simplificar, consideraremos que a integral está adaptada para coordenadas cilíndricas com
desempenhando o papel de representar a altura.
Passo 5
Vamos reescrever a primeira integral usando o diferencial de volume em coordenadas cilíndricas:
Aqui, interpretamos
como parte do integrando adaptado para coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a primeira integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Passo 8
Por último, integramos em relação a
:
Passo 9
Multiplicando os resultados das integrais:
Passo 10
Agora, vamos resolver a segunda parte da integral:
Novamente, adaptamos para coordenadas cilíndricas e seguimos o mesmo processo.
Passo 11
Integramos primeiro em relação a
:
Passo 12
Agora, integramos em relação a
:
Sabemos que
, e a integral de
é
.
Então:
Passo 13
Por último, integramos em relação a
:
Passo 14
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
Somando as duas partes, a integral total é:
Portanto, a resposta final é: