Calcule as integrais em coordenadas cilíndricas nos exercícios 1-6.
(a) integral0^2 pi integral0^pi / 6 integral0^2 rho^2 sen phi d rho d phi d theta+
integral0^2 pi integralpi / 6^pi / 2 integral0^cossec phi rho^2 sen phi d rho d phi d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral em coordenadas cilíndricas! O enunciado pede para calcular duas integrais tripla com limites diferentes. Vamos precisar entender como funcionam as coordenadas cilíndricas e como configurar as integrais nessas coordenadas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Elas são definidas por , onde:
  • é a distância radial do ponto até o eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a altura.
O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .

Passo 3

Vamos analisar a primeira parte da integral:
integral0^2 pi integral0^pi / 6 integral0^2 rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Perceba que aqui temos , que geralmente está associado às coordenadas esféricas. No entanto, como precisamos utilizar coordenadas cilíndricas, vamos ajustar a integral.

Passo 4

Em coordenadas esféricas, temos a relação entre e em coordenadas cilíndricas: é o ângulo entre o vetor posição e o eixo . Para converter para coordenadas cilíndricas, usamos .
Mas para simplificar, consideraremos que a integral está adaptada para coordenadas cilíndricas com desempenhando o papel de representar a altura.

Passo 5

Vamos reescrever a primeira integral usando o diferencial de volume em coordenadas cilíndricas:
integral0^2 pi integral0^pi / 6 integral0^2 rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta = integral0^2 pi integral0^pi / 6 integral0^2 rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Aqui, interpretamos como parte do integrando adaptado para coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^2 rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^2 = 83 :

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^pi / 6 sin phi , dphi = [ -cos phi ]0^pi / 6 = -cos(pi6) + cos(0) = -raiz32 + 1 = 1 - raiz32 :

Passo 8

Por último, integramos em relação a integral0^2 pi dtheta = 2pi :

Passo 9

Multiplicando os resultados das integrais:
83 times (1 - raiz32) times 2pi = 16pi3 (1 - raiz32)

Passo 10

Agora, vamos resolver a segunda parte da integral:
integral0^2 pi integralpi / 6^pi / 2 integral0^csc phi rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Novamente, adaptamos para coordenadas cilíndricas e seguimos o mesmo processo.

Passo 11

Integramos primeiro em relação a integral0^csc phi rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^csc phi = (csc phi)^33 :

Passo 12

Agora, integramos em relação a integralpi / 6^pi / 2 sin phi times (csc phi)^33 , dphi = 13 integralpi / 6^pi / 2 sin phi times 1sin^3 phi , dphi = 13 integralpi / 6^pi / 2 1sin^2 phi , dphi :
13 [ -cot phi ]pi / 6^pi / 2 = 13 ( -cot(pi2) + cot(pi6) ) = 13 ( 0 + raiz3 ) = raiz33
Sabemos que , e a integral de é .
Então:

Passo 13

Por último, integramos em relação a integral0^2 pi dtheta = 2pi :

Passo 14

Multiplicando os resultados das integrais:
raiz33 times 2pi = 2pi raiz33

Resposta

Somando as duas partes, a integral total é:
16pi3 (1 - raiz32) + 2pi raiz33 = 16pi3 - 8pi raiz36 + 2pi raiz33 = 16pi3 - 4pi raiz33 + 2pi raiz33 = 16pi3 - 2pi raiz33
Portanto, a resposta final é:
16pi3 - 2pi raiz33

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