Nos Exercícios 33-38, (a) encontre os limites em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado e em seguida (b) calcule a integral.
35. O sólido delimitado pela cardioide de revolução rho = 1 - cos(phi).

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os limites em coordenadas esféricas para calcular o volume de um sólido delimitado por uma cardioide de revolução dada por . Basicamente, vamos usar cálculo em coordenadas esféricas para achar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros: rho (a distância do ponto à origem), phi (o ângulo polar, ou seja, o ângulo com o eixo z) e theta (o ângulo azimutal, que é em torno do eixo z). A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para cada uma dessas coordenadas. A equação da cardioide é . Isso nos dá o limite superior para rho, que vai de 0 até .
Para phi, sabemos que em coordenadas esféricas, o ângulo polar varia de 0 a pi radianos para cobrir todo o espaço acima e abaixo do plano xy. Por último, o ângulo azimutal theta varia de 0 a radianos para cobrir toda a volta ao redor do eixo z.
Então, os limites são:

Passo 4

Agora que temos os limites, vamos montar a integral para o volume:
Vamos começar integrando em relação a rho:
Então, a integral fica:
Podemos tirar o fator 1/3 para fora da integral:
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a phi. Fazendo uma substituição , então . Quando , ; quando , .
Substituindo:
Então, agora temos:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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