Nos Exercícios 33-38, (a) encontre os limites em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado e em seguida (b) calcule a integral.
35. O sólido delimitado pela cardioide de revolução
.
35. O sólido delimitado pela cardioide de revolução
Passo 1
Beleza, então vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os limites em coordenadas esféricas para calcular o volume de um sólido delimitado por uma cardioide de revolução dada por
. Basicamente, vamos usar cálculo em coordenadas esféricas para achar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
(a distância do ponto à origem),
(o ângulo polar, ou seja, o ângulo com o eixo z) e
(o ângulo azimutal, que é em torno do eixo z). A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração para cada uma dessas coordenadas. A equação da cardioide é
. Isso nos dá o limite superior para
, que vai de 0 até
.
Para
, sabemos que em coordenadas esféricas, o ângulo polar varia de 0 a
radianos para cobrir todo o espaço acima e abaixo do plano xy. Por último, o ângulo azimutal
varia de 0 a
radianos para cobrir toda a volta ao redor do eixo z.
Então, os limites são:
Passo 4
Agora que temos os limites, vamos montar a integral para o volume:
Vamos começar integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Podemos tirar o fator
para fora da integral:
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
. Fazendo uma substituição
, então
. Quando
,
; quando
,
.
Substituindo:
Então, agora temos:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.