Nos Exercícios 33-38, (a) encontre os limites em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado e em seguida (b) calcule a integral.
37. O sólido delimitado abaixo pela esfera
e acima pelo cone
37. O sólido delimitado abaixo pela esfera
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que está abaixo de uma esfera definida por
e acima de um cone dado por
. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração. Precisamos identificar os limites de integração e depois calcular a integral para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações dadas:
- A esfera é definida por
. Aqui, é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo z. - O cone é dado por
. Em coordenadas esféricas, isso se transforma em , simplificando para , ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para cada coordenada esférica:
-
(ângulo ao redor do eixo z) varia de a para cobrir toda a circunferência. -
(ângulo em relação ao eixo z) varia de até , já que o sólido está acima do cone que faz um ângulo de com o eixo z. -
(distância à origem) vai de até , conforme a equação da esfera.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral para o volume em coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por
. Assim, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Substituímos esse resultado na integral:
Podemos fatorar as constantes:
Passo 7
Vamos resolver a integral em
. Fazemos uma substituição simples:
Deixe
, então
. A integral fica:
Avaliada de
a
:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral:
Resposta
O volume do sólido é igual a
unidades cúbicas.