Nos Exercícios 33-38, (a) encontre os limites em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado e em seguida (b) calcule a integral.
37. O sólido delimitado abaixo pela esfera rho = 2 cos(phi) e acima pelo cone z = raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que está abaixo de uma esfera definida por e acima de um cone dado por . Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração. Precisamos identificar os limites de integração e depois calcular a integral para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dadas:
  • A esfera é definida por . Aqui, rho é a distância do ponto à origem e phi é o ângulo em relação ao eixo z.
  • O cone é dado por . Em coordenadas esféricas, isso se transforma em , simplificando para , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para cada coordenada esférica:
  • theta (ângulo ao redor do eixo z) varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.
  • phi (ângulo em relação ao eixo z) varia de 0 até pi/4, já que o sólido está acima do cone que faz um ângulo de com o eixo z.
  • rho (distância à origem) vai de 0 até , conforme a equação da esfera.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral para o volume em coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por . Assim, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a rho:

Passo 6

Substituímos esse resultado na integral:
Podemos fatorar as constantes:

Passo 7

Vamos resolver a integral em phi. Fazemos uma substituição simples:
Deixe , então . A integral fica:
Avaliada de 0 a pi/4:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral:

Resposta

O volume do sólido é igual a pi unidades cúbicas.

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