Nos Exercícios 33-38, (a) encontre os limites em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado e em seguida (b) calcule a integral.
37. O sólido delimitado abaixo pela esfera rho = 2 cos(phi) e acima pelo cone z = raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que está abaixo de uma esfera definida por e acima de um cone dado por . Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração. Precisamos identificar os limites de integração e depois calcular a integral para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dadas:
  • A esfera é definida por . Aqui, rho é a distância do ponto à origem e phi é o ângulo em relação ao eixo z.
  • O cone é dado por . Em coordenadas esféricas, isso se transforma em , simplificando para , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para cada coordenada esférica:
  • theta (ângulo ao redor do eixo z) varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.
  • phi (ângulo em relação ao eixo z) varia de 0 até pi/4, já que o sólido está acima do cone que faz um ângulo de com o eixo z.
  • rho (distância à origem) vai de 0 até , conforme a equação da esfera.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral para o volume em coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por . Assim, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a rho:

Passo 6

Substituímos esse resultado na integral:
Podemos fatorar as constantes:

Passo 7

Vamos resolver a integral em phi. Fazemos uma substituição simples:
Deixe , então . A integral fica:
0
Avaliada de pi/4 a :

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral:

Resposta

O volume do sólido é igual a pi unidades cúbicas.

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<html><head></head><body><div>Nos Exercícios 33-38, (a) encontre os limites em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado e em seguida (b) calcule a integral.<br>
35. O sólido delimitado pela cardioide de revolução <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.489ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“12.836ex” height=“2.059ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -694 5673.7 910”><title>rho = 1 - cos(phi)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D70C” d=“M58 -216Q25 -216 23 -186Q23 -176 73 26T127 234Q143 289 182 341Q252 427 341 441Q343 441 349 441T359 442Q432 442 471 394T510 276Q510 219 486 165T425 74T345 13T266 -10H255H248Q197 -10 165 35L160 41L133 -71Q108 -168 104 -181T92 -202Q76 -216 58 -216ZM424 322Q424 359 407 382T357 405Q322 405 287 376T231 300Q217 269 193 170L176 102Q193 26 260 26Q298 26 334 62Q367 92 389 158T418 266T424 322Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(794.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1850.6,0)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2572.8,0)”><path data-c=“2212” d=“M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(3573,0)”><path data-c=“63” d=“M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z”></path><path data-c=“6F” d=“M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 91Q177 30 250 30Z” transform=“translate(444,0)”></path><path data-c=“73” d=“M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z” transform=“translate(944,0)”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(4911,0)”><path data-c=“2061” d=””></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(5077.7,0)”><path data-c=“1D719” d=“M409 688Q413 694 421 694H429H442Q448 688 448 686Q448 679 418 563Q411 535 404 504T392 458L388 442Q388 441 397 441T429 435T477 418Q521 397 550 357T579 260T548 151T471 65T374 11T279 -10H275L251 -105Q245 -128 238 -160Q230 -192 227 -198T215 -205H209Q189 -205 189 -198Q189 -193 211 -103L234 -11Q234 -10 226 -10Q221 -10 206 -8T161 6T107 36T62 89T43 171Q43 231 76 284T157 370T254 422T342 441Q347 441 348 445L378 567Q409 686 409 688ZM122 150Q122 116 134 91T167 53T203 35T237 27H244L337 404Q333 404 326 403T297 395T255 379T211 350T170 304Q152 276 137 237Q122 191 122 150ZM500 282Q500 320 484 347T444 385T405 400T381 404H378L332 217L284 29Q284 27 285 27Q293 27 317 33T357 47Q400 66 431 100T475 170T494 234T500 282Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>.</div>
</body></html>
Calcule as integrais em coordenadas esféricas nos Exercícios 21-26.
24.
Nos Exercícios 15-20, monte a integral iterada para calcular sobre a região D dada.
17. Dé o cilindro circular reto sólido cuja base é a região no plano x y que está dentro da cardioide r = 1 + cos(θ) e fora da circunferência r = 1 e cujo topo está no plano z = 4.
Nos Exercícios 15-20, monte a integral iterada para calcular sobre a região D dada.
15. D é o cilindro circular reto cuja base é a circunferência r = 2 sen(theta) no plano x y e cujo topo está no plano .