Calcule as integrais curvilíneas dadas: ao longo de de a , onde:
a) é a parábola
b) é a poligonal
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular integrais de linha, que é um tipo de integral que passa por uma curva no espaço. No caso, temos a integral:
Temos duas partes:
a) A curva é uma parábola definida por e .
b) A curva é uma poligonal que vai de até passando por .
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Vamos começar pela parte a), onde a curva é a parábola com .
Primeiro, precisamos parametrizar a curva. Como é constante e igual a 2, podemos usar como variável. Então, nossas parametrizações ficam assim:
Onde varia de 0 a 2 para ir de a .
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas das parametrizações em relação a :
Essas derivadas são importantes porque vão substituir , e na integral original.
Passo 4
Substituímos as parametrizações e suas derivadas na integral:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos avaliar nos limites de integração, de 0 a 2:
Passo 7
Agora, vamos resolver a parte b), onde a curva é uma poligonal que vai de até passando por .
Aqui, vamos dividir a integral em duas partes: de a e de a .
Passo 8
Primeiro, de a .
Vamos parametrizar essa parte da curva. Podemos usar variando de 0 a 1:
Passo 9
Calculamos as derivadas em relação a :
Passo 10
Substituímos na integral:
Passo 11
Integrando :
Passo 12
Agora, vamos para a segunda parte, de x = 1 + t y = 0 + 2t z = 0 + 4t a .