Calcule as integrais curvilíneas dadas:
integralC sin x d x-2 y z d y-y^2 d z ao longo de C de A(0,2,0 a B(2,2,4), onde:
a) é a parábola z=x^2, y=2
b) é a poligonal A M B, M(1,0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular integrais de linha, que é um tipo de integral que passa por uma curva no espaço. No caso, temos a integral:
integralC sin x , dx - 2 y z , dy - y^2 , dz
Temos duas partes:
a) A curva é uma parábola definida por e .
b) A curva é uma poligonal que vai de até passando por .
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Vamos começar pela parte a), onde a curva x = t y = 2 z = t^2 é a parábola com .
Primeiro, precisamos parametrizar a curva. Como é constante e igual a 2, podemos usar como variável. Então, nossas parametrizações ficam assim:
Onde varia de 0 a 2 para ir de a .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas das parametrizações em relação a dxdt = 1 dydt = 0 dzdt = 2t :
Essas derivadas são importantes porque vão substituir , e na integral original.

Passo 4

Substituímos as parametrizações e suas derivadas na integral:
integral0^2 [ sin(t) cdot 1 - 2 cdot 2 cdot t^2 cdot 0 - (2)^2 cdot 2t ] dt
Simplificando os termos:
integral0^2 [ sin(t) - 0 - 8t ] dt = integral0^2 (sin(t) - 8t) , dt

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral sin(t) , dt = -cos(t) integral 8t , dt = 4t^2
Então, a integral fica:
[ -cos(t) - 4t^2 ]0^2

Passo 6

Vamos avaliar nos limites de integração, de 0 a 2:
( -cos(2) - 4(2)^2 ) - ( -cos(0) - 4(0)^2 ) = ( -cos(2) - 16 ) - ( -1 - 0 ) = -cos(2) - 16 + 1 = -cos(2) - 15

Passo 7

Agora, vamos resolver a parte b), onde a curva é uma poligonal que vai de até passando por .
Aqui, vamos dividir a integral em duas partes: de a e de a .

Passo 8

Primeiro, de x = t y = 2 - 2t z = 0 a .
Vamos parametrizar essa parte da curva. Podemos usar variando de 0 a 1:

Passo 9

Calculamos as derivadas em relação a dxdt = 1 dydt = -2 dzdt = 0 :

Passo 10

Substituímos na integral:
integral0^1 [ sin(t) cdot 1 - 2(2 - 2t)(0) cdot (-2) - (2 - 2t)^2 cdot 0 ] dt = integral0^1 sin(t) , dt

Passo 11

Integrando -cos(t) g|0^1 = -cos(1) + cos(0) = -cos(1) + 1 :

Passo 12

Agora, vamos para a segunda parte, de x = 1 + t y = 0 + 2t z = 0 + 4t a .
Parametrizamos essa parte com de 0 a 1:

Passo 13

Calculamos as derivadas:
dxdt = 1 dydt = 2 dzdt = 4

Passo 14

Substituímos na integral:
integral0^1 [ sin(1 + t) cdot 1 - 2(2t)(4t) cdot 2 - (2t)^2 cdot 4 ] dt = integral0^1 [ sin(1 + t) - 16t^2 - 16t^2 ] dt = integral0^1 [ sin(1 + t) - 32t^2 ] dt

Passo 15

Vamos integrar cada termo:
integral sin(1 + t) , dt = -cos(1 + t) integral 32t^2 , dt = 323 t^3
Então, a integral fica:
[ -cos(1 + t) - 323 t^3 ]0^1

Passo 16

Avaliando nos limites de 0 a 1:
( -cos(2) - 323 ) - ( -cos(1) - 0 ) = -cos(2) - 323 + cos(1)

Passo 17

Agora, somamos as duas partes da integral:
Primeira parte: (-cos(1) + 1) + (-cos(2) - 323 + cos(1)) = -cos(2) - 323 + 1
Segunda parte: -cos(2) - 293
Somando:
Simplificando:

Resposta

A integral curvilínea na parte b) resulta em:
-cos(2) - 293

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