Calcule
onde:
e
é a curva interseção do cilindro
e o plano
no sentido antihorário visto de cima.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
. A curva
é a interseção do cilindro
com o plano
, e a orientação é no sentido antihorário visto de cima. Para resolver isso, vamos usar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha com uma integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Stokes. Ele diz que
, onde
é uma superfície limitada por
e
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é
. Usando a definição:
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, precisamos definir a superfície
. Vamos escolher o disco no plano
que está dentro do cilindro
. O vetor normal
para essa superfície pode ser encontrado a partir do plano. Como o plano é
, o vetor normal é
.
Passo 5
Vamos calcular o produto
:
Passo 6
Agora, precisamos integrar isso sobre a superfície
. Primeiro, expressamos
em função de
e
usando o plano:
. Substituindo na expressão:
Passo 7
A integral sobre a superfície fica então:
A área da superfície
é a área do círculo de raio 1, que é
.
Passo 8
Calculando a integral:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais curvilíneas dadas:
ao longo de
de
a
, onde:
a) é a parábola
b) é a poligonal
a) é a parábola
b) é a poligonal
Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
12)
12)
Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Resp.: