Calcule onde:
e é a curva interseção do cilindro e o plano no sentido antihorário visto de cima.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de linha , onde o campo vetorial . A curva é a interseção do cilindro com o plano , e a orientação é no sentido antihorário visto de cima. Para resolver isso, vamos usar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha com uma integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Stokes. Ele diz que , onde é uma superfície limitada por e é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de , que é . Usando a definição:
Calculando as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, precisamos definir a superfície . Vamos escolher o disco no plano que está dentro do cilindro . O vetor normal para essa superfície pode ser encontrado a partir do plano. Como o plano é , o vetor normal é .

Passo 5

Vamos calcular o produto :

Passo 6

Agora, precisamos integrar isso sobre a superfície . Primeiro, expressamos em função de e usando o plano: . Substituindo na expressão:

Passo 7

A integral sobre a superfície fica então:
A área da superfície é a área do círculo de raio 1, que é .

Passo 8

Calculando a integral:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais curvilíneas dadas:
ao longo de de a , onde:
a) é a parábola
b) é a poligonal
Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
12)
Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: Resp.: