Calcule integralC F cdot d r onde:
F=x y i+y z j+x z k e C é a curva interseção do cilindro x^2+y^2=1 e o plano x+y+z=1 no sentido antihorário visto de cima.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de linha , onde o campo vetorial . A curva é a interseção do cilindro com o plano , e a orientação é no sentido antihorário visto de cima. Para resolver isso, vamos usar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha com uma integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Stokes. Ele diz que , onde é uma superfície limitada por e é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial (x z)partial y - partial (y z)partial z ) i - ( partial (x z)partial x - partial (x y)partial z ) j + ( partial (y z)partial x - partial (x y)partial y ) k , que é nabla times F = (0 - y) i - (z - 0) j + (0 - x) k = -y i - z j - x k . Usando a definição:
Calculando as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, precisamos definir a superfície . Vamos escolher o disco no plano que está dentro do cilindro . O vetor normal para essa superfície pode ser encontrado a partir do plano. Como o plano é , o vetor normal é .

Passo 5

Vamos calcular o produto (-y i - z j - x k) cdot 1raiz3 (i + j + k) = 1raiz3 (-y - z - x) :

Passo 6

Agora, precisamos integrar isso sobre a superfície 1raiz3 (-y - (1 - x - y) - x) = 1raiz3 (-y -1 + x + y - x) = -1raiz3 . Primeiro, expressamos em função de e usando o plano: . Substituindo na expressão:

Passo 7

A integral sobre a superfície fica então:
integral duplaS -1raiz3 , dS = -1raiz3 integral duplaS dS
A área da superfície é a área do círculo de raio 1, que é .

Passo 8

Calculando a integral:
-1raiz3 cdot pi = -piraiz3

Resposta

A integral vale .

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