Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
12) integral cos x d xraiz2 sen x+1

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A questão pede para resolver a integral usando o método de substituição de variáveis. Esse método é útil quando conseguimos simplificar a integral escolhendo uma nova variável que facilita a integração. Para isso, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo.

Passo 2

Olha só, no denominador temos . Vamos fazer uma substituição para simplificar essa expressão. Vamos deixar . Agora, precisamos encontrar raiz2 sen x +1 em função de u = 2 sen x +1.

Passo 3

Para encontrar du, derivamos u em relação a x:
du = 2 cos x , dx
Isso significa que cos x , dx = du2.

Passo 4

Agora vamos substituir u e du na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar u^-1/2 em relação a u:
12 integral u^-1/2 , du = 12 cdot u^1/212 = u^1/2

Passo 6

Por fim, substituímos u de volta em termos de x:

Resposta

A integral é igual a , onde integral cos x , dxraiz2 sen x +1 é a constante de integração.

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