Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. Esse método é útil quando a parte não homogênea da equação é uma função que a gente consegue adivinhar a forma da solução. Aqui, nossa equação tem uma parte homogênea e uma parte não homogênea . Vamos precisar encontrar a solução geral somando a solução da equação homogênea com uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea . Para isso, a gente encontra as raízes da equação característica associada. A equação característica é . Resolvendo, temos:
Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:
Mas parece que no enunciado a resposta final é diferente. Vamos seguir para a parte particular.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio vezes uma exponencial , assumimos que tem a forma:
Aqui, , e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação diferencial.

Passo 5

Substituindo na equação , temos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:

Passo 7

Agora que encontramos , e , nossa solução particular fica:

Passo 8

Finalmente, somamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: Resp.:
Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
5)
Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
12)
Calcule as integrais curvilíneas dadas:
ao longo de de a , onde:
a) é a parábola
b) é a poligonal