Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes a determinar. Esse método é útil quando a parte não homogênea da equação é uma função que a gente consegue adivinhar a forma da solução. Aqui, nossa equação tem uma parte homogênea
e uma parte não homogênea
. Vamos precisar encontrar a solução geral somando a solução da equação homogênea com uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea
. Para isso, a gente encontra as raízes da equação característica associada. A equação característica é
. Resolvendo, temos:
Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:
Mas parece que no enunciado a resposta final é diferente. Vamos seguir para a parte particular.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio vezes uma exponencial
, assumimos que
tem a forma:
Aqui,
,
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial.
Passo 5
Substituindo na equação
, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 7
Agora que encontramos
,
e
, nossa solução particular fica:
Passo 8
Finalmente, somamos a solução homogênea
com a solução particular
para obter a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Resp.:
Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
5)
5)
Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
12)
12)
Calcule as integrais curvilíneas dadas:
ao longo de
de
a
, onde:
a) é a parábola
b) é a poligonal
a) é a parábola
b) é a poligonal