Calcule ointC F cdot r usando o teorema de Green
ointC(4 x^2-9 y) d x+(9 x y+raizy^2+1) d y, onde C é a circunfêrencia x^2+(y-1)^2=1 no sentido antihorário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um cálculo de uma integral de linha, que basicamente significa somar um campo vetorial ao longo de uma curva. A curva C é uma circunferência definida por x^2 + (y-1)^2 = 1, e queremos percorrê-la no sentido anti-horário. A função vetorial F que a gente vai integrar é dada por:
F = (4x^2 - 9y) i + (9xy + raizy^2 + 1) j
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva. A gente precisa identificar as partes P e Q da função vetorial para aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Ou seja, a integral ao longo da curva C se transforma numa integral dupla sobre a região D dentro de C. Aqui, P = 4x^2 - 9y e Q = 9xy + raizy^2 + 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais que estão dentro da integral dupla:
partial Qpartial x = partialpartial x (9xy + raizy^2 + 1) = 9y
partial Ppartial y = partialpartial y (4x^2 - 9y) = -9
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 9y - (-9) = 9y + 9 = 9(y + 1)

Passo 4

A próxima etapa é definir a região D sobre a qual vamos integrar. A curva C é a circunferência x^2 + (y - 1)^2 = 1, que é um círculo de raio 1 centrado em (0,1). Podemos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração, especialmente porque a região é circular.
Vamos fazer a substituição:
x = r costheta
y - 1 = r sintheta Rightarrow y = 1 + r sintheta
O raio r varia de 0 a 1, e o ângulo theta varia de 0 a 2pi.

Passo 5

Agora, vamos escrever a integral dupla com as novas variáveis:
integral duplaD 9(y + 1) , dA = 9 integral duplaD (1 + r sintheta + 1) r , dr , dtheta = 9 integral duplaD (2 + r sintheta) r , dr , dtheta
Distribuindo r:
9 integral0^2pi integral0^1 (2r + r^2 sintheta) , dr , dtheta
Integramos primeiro em relação a r:
integral0^1 2r , dr = [ r^2 ]0^1 = 1
integral0^1 r^2 sintheta , dr = sintheta [ r^33 ]0^1 = sintheta3
Agora, integrando em relação a theta:
9 ( integral0^2pi 1 , dtheta + 13 integral0^2pi sintheta , dtheta ) = 9 ( 2pi + 0 ) = 18pi
A integral com o seno desapareceu porque a função seno tem média zero no intervalo de 0 a 2pi.

Resposta

O valor da integral ointC F cdot r é 18pi.

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