Calcule
usando o teorema de Green
, onde
é a circunfêrencia
no sentido antihorário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um cálculo de uma integral de linha, que basicamente significa somar um campo vetorial ao longo de uma curva. A curva
é uma circunferência definida por
, e queremos percorrê-la no sentido anti-horário. A função vetorial
que a gente vai integrar é dada por:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva. A gente precisa identificar as partes
e
da função vetorial para aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que:
Ou seja, a integral ao longo da curva
se transforma numa integral dupla sobre a região
dentro de
. Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais que estão dentro da integral dupla:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
A próxima etapa é definir a região
sobre a qual vamos integrar. A curva
é a circunferência
, que é um círculo de raio 1 centrado em
. Podemos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração, especialmente porque a região é circular.
Vamos fazer a substituição:
O raio
varia de 0 a 1, e o ângulo
varia de
a
.
Passo 5
Agora, vamos escrever a integral dupla com as novas variáveis:
Distribuindo
:
Integramos primeiro em relação a
:
Agora, integrando em relação a
:
A integral com o seno desapareceu porque a função seno tem média zero no intervalo de
a
.
Resposta
O valor da integral
é
.