( 1,0 ponto) Ache, por integração dupla - coordenadas polares, a área da região compreendida por uma folha da rosácea
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a área de uma folha da curva chamada rosácea, que é dada pela equação polar
. Para isso, vamos usar integração dupla em coordenadas polares. Basicamente, precisamos entender como configurar a integral para calcular essa área específica usando as propriedades das coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Essa é uma equação de uma rosa com múltiplos pétalos. O número que multiplica
dentro do seno determina quantas pétalas a rosa terá:
- Se for
com ímpar, a rosa terá pétalas. - Se for
com par, a rosa terá pétalas.
No nosso caso,
, que é ímpar, então a rosa tem 3 pétalas.
Passo 3
Para encontrar a área de uma única pétala, precisamos determinar os limites de integração. Vamos considerar que uma pétala completa ocorre quando
varia de
a
. Isso porque, para
, cada pétala ocupa um intervalo angular de
.
Passo 4
A fórmula para a área
em coordenadas polares é:
Onde:
-
é a função que define a curva. -
é o ângulo variável. -
e são os limites de integração para o ângulo.
Passo 5
Aplicando essa fórmula à nossa situação:
Agora, precisamos resolver essa integral.
Passo 6
Para resolver a integral
, podemos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Passo 7
Substituindo de volta na integral:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Aplicando os limites de integração de
a
:
Isso porque
e
.
Passo 10
Finalmente, substituindo de volta:
Resposta
A área de uma folha da rosácea
é
unidades quadradas.