( 1,0 ponto) Ache, por integração dupla - coordenadas polares, a área da região compreendida por uma folha da rosácea .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a área de uma folha da curva chamada rosácea, que é dada pela equação polar . Para isso, vamos usar integração dupla em coordenadas polares. Basicamente, precisamos entender como configurar a integral para calcular essa área específica usando as propriedades das coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Essa é uma equação de uma rosa com múltiplos pétalos. O número que multiplica dentro do seno determina quantas pétalas a rosa terá:
  • Se for com ímpar, a rosa terá pétalas.
  • Se for com par, a rosa terá pétalas.
No nosso caso, , que é ímpar, então a rosa tem 3 pétalas.

Passo 3

Para encontrar a área de uma única pétala, precisamos determinar os limites de integração. Vamos considerar que uma pétala completa ocorre quando varia de a . Isso porque, para , cada pétala ocupa um intervalo angular de .

Passo 4

A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Onde:
  • é a função que define a curva.
  • é o ângulo variável.
  • e são os limites de integração para o ângulo.

Passo 5

Aplicando essa fórmula à nossa situação:
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 6

Para resolver a integral , podemos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:

Passo 7

Substituindo de volta na integral:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 9

Aplicando os limites de integração de a :
Isso porque e .

Passo 10

Finalmente, substituindo de volta:

Resposta

A área de uma folha da rosácea é unidades quadradas.

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