Calcule as integrais dadas:
integral-1^2 integral0^3 y+3 x^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você me passou:
integral-1^2 integral0^3 y + 3x^2 , dx , dy
Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna:
integral0^3 (y + 3x^2) , dx
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. A integral de integral0^3 y , dx = yx |0^3 = y(3) - y(0) = 3y em relação a integral0^3 3x^2 , dx = x^3 |0^3 = 3^3 - 0^3 = 27 é:
    2. A integral de em relação a é:

Passo 4

Somando os resultados das integrais, temos:
3y + 27
Agora, substituímos isso na integral externa:
integral-1^2 (3y + 27) , dy

Passo 5

Vamos integrar 32y^2 em relação a 27y:
  1. A integral de 32y^2 + 27y |-1^2 em relação a é:
    2. A integral de em relação a é:
Portanto, a integral completa é:

Passo 6

Substituindo os limites de integração:
  1. Para 32(2)^2 + 27(2) = 32(4) + 54 = 6 + 54 = 60: 32(-1)^2 + 27(-1) = 32(1) - 27 = 1.5 - 27 = -25.5
    2. Para :

Resposta

A integral vale:
60 - (-25.5) = 85.5

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