Utilize integrais duplas para calcular a área:
Da região triangular T do plano cartesiano limitada pelo triângulo cujos vértices são A(-2,-3) B(-1, 2) e C(2,-3).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área do triângulo no plano cartesiano usando integrais duplas. A gente tem os vértices do triângulo nas coordenadas , e . Para isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla para a região triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos traçar os pontos , e no plano e conectar eles para formar o triângulo. Observando as coordenadas, percebemos que os pontos e estão na mesma altura , formando a base do triângulo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as equações das retas que formam os lados do triângulo. Isso vai nos ajudar a definir os limites de integração. Vamos calcular as equações das retas e .

Passo 4

Para a reta , usamos a fórmula da inclinação:
Então, a equação da reta é:

Passo 5

Para a reta , calculamos a inclinação:
Então, a equação da reta é:

Passo 6

Agora que temos as equações das retas e , podemos definir os limites da nossa integral dupla. Vamos integrar em de a . Para cada , varia de (a base do triângulo) até a reta correspondente, que é para de a , e para de a .

Passo 7

Vamos dividir a integral em duas partes:
  1. De a com indo de até .
  2. De a com indo de até .

Passo 8

A área é dada por:

Passo 9

Vamos resolver a primeira integral:

Passo 10

Agora, a segunda integral:

Passo 11

Finalmente, somamos as duas áreas:

Resposta

A área do triângulo é unidades de área.

Exercícios relacionados