Calcule as integrais dadas:
integral0^8 integralraiz[3]y^2 sen(x^4) d x d y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla integral0^8 integralraiz[3]y^2 sin(x^4) dx , dy. Isso envolve o estudo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, e vamos precisar saber como trocar a ordem de integração e usar substituições adequadas para resolver.

Passo 2

Observando os limites de integração, vemos que para cada valor de y entre 0 e 8, x varia de raiz[3]y até 2. Trabalhar diretamente com esses limites pode ser complicado por causa da função sin(x^4). Então, uma boa estratégia é trocar a ordem de integração para simplificar o cálculo.

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Agora, x vai de 0 a 2, e para cada x, y varia de 0 até x^3. Assim, a integral fica:
integral0^2 integral0^x^3 sin(x^4) dy , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a y primeiro. Como sin(x^4) não depende de y, a integral interna é simples:
integral0^x^3 sin(x^4) dy = sin(x^4) cdot y |0^x^3 = sin(x^4) cdot x^3

Passo 5

Substituindo de volta na integral externa, temos:
integral0^2 x^3 sin(x^4) dx
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 6

Para integrar x^3 sin(x^4), vamos usar uma substituição. Seja u = x^4, então:
du = 4x^3 dx Rightarrow x^3 dx = du4

Passo 7

Substituindo na integral, ficamos com:
integralu=0^u=16 sin(u) cdot du4 = 14 integral0^16 sin(u) du

Passo 8

Integrando sin(u), temos:
14 [ -cos(u) ]0^16 = 14 ( -cos(16) + cos(0) )

Passo 9

Sabemos que cos(0) = 1, então:
14 (1 - cos(16))

Resposta

A integral dupla é igual a dfrac14 (1 - cos(16)).

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