Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla . Isso envolve o estudo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, e vamos precisar saber como trocar a ordem de integração e usar substituições adequadas para resolver.
Passo 2
Observando os limites de integração, vemos que para cada valor de entre 0 e 8, varia de até 2. Trabalhar diretamente com esses limites pode ser complicado por causa da função . Então, uma boa estratégia é trocar a ordem de integração para simplificar o cálculo.
Passo 3
Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Agora, vai de 0 a 2, e para cada , varia de 0 até . Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a primeiro. Como não depende de , a integral interna é simples:
Passo 5
Substituindo de volta na integral externa, temos:
integral0^2 x^3 sin(x^4) dx
Agora, precisamos resolver essa integral.
Passo 6
Para integrar x^3 sin(x^4), vamos usar uma substituição. Seja u = x^4, então:
du = 4x^3 dx Rightarrow x^3 dx = du4
Passo 7
Substituindo na integral, ficamos com:
integralu=0^u=16 sin(u) cdot du4 = 14 integral0^16 sin(u) du