Utilize a regra do ponto médio para estimar a integral da função
no retângulo
com
e
. Estime também o valor médio de
em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que estimar a integral da função
sobre o retângulo
usando a regra do ponto médio com 4 subdivisões em cada direção (
e
). Além disso, também precisamos calcular o valor médio de
em
.
Passo 2
Para aplicar a regra do ponto médio em duas dimensões, precisamos dividir o retângulo
em pequenos subretângulos. Com
e
, vamos dividir
em 4 partes na direção
e 4 na direção
, totalizando
subretângulos.
Passo 3
Vamos calcular o tamanho de cada subdivisão. Na direção
:
Na direção
:
Passo 4
Agora, encontramos os pontos médios de cada subretângulo. Os pontos médios
são dados por:
Passo 5
Calculando os pontos médios:
Para
:
Para
:
Passo 6
Em cada um desses pontos médios, vamos avaliar a função
. Isso significa calcular
para todos os
e
.
Passo 7
A estimativa da integral usando a regra do ponto médio é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 8
Após calcular todos os 16 valores de
, somamos esses valores e multiplicamos pelo produto
para obter a estimativa da integral.
Passo 9
Para encontrar o valor médio de
em
, usamos a fórmula:
A área de
é:
Então,
Resposta
A estimativa da integral de
sobre o retângulo
usando a regra do ponto médio com
e
é aproximadamente [valor calculado], e o valor médio de
em
é também aproximadamente [valor calculado].