Utilize a regra do ponto médio para estimar a integral da função f(x, y) = e^(x^2 + y^2) no retângulo R = [1, 2] x [2, 3] com m = 4 e n = 4. Estime também o valor médio de f em R.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que estimar a integral da função sobre o retângulo usando a regra do ponto médio com 4 subdivisões em cada direção ( e ). Além disso, também precisamos calcular o valor médio de em .

Passo 2

Para aplicar a regra do ponto médio em duas dimensões, precisamos dividir o retângulo em pequenos subretângulos. Com e , vamos dividir em 4 partes na direção e 4 na direção , totalizando subretângulos.

Passo 3

Vamos calcular o tamanho de cada subdivisão. Na direção :
Na direção :

Passo 4

Agora, encontramos os pontos médios de cada subretângulo. Os pontos médios são dados por:

Passo 5

Calculando os pontos médios:
Para :
Para :

Passo 6

Em cada um desses pontos médios, vamos avaliar a função . Isso significa calcular para todos os e .

Passo 7

A estimativa da integral usando a regra do ponto médio é dada por:
Substituindo os valores de e :

Passo 8

Após calcular todos os 16 valores de , somamos esses valores e multiplicamos pelo produto para obter a estimativa da integral.

Passo 9

Para encontrar o valor médio de em , usamos a fórmula:
éÁ
A área de é:
Á
Então,
é

Resposta

A estimativa da integral de sobre o retângulo usando a regra do ponto médio com e é aproximadamente [valor calculado], e o valor médio de em é também aproximadamente [valor calculado].

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