Utilize somas de Riemann com m=n=3 para estimar a integral da função integral duplaR(x+y) d A, onde R=[1,4] times[1,4] tomando como ponto amostral o ponto médio de cada subretângulo. Calcule também o valor médio (fm e d) da função.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos estimar a integral dupla da função sobre a região usando somas de Riemann com . Além disso, vamos usar o ponto médio de cada subretângulo para calcular essa soma e, por fim, encontrar o valor médio da função, denotado por .

Passo 2

Para resolver isso, precisamos dividir a região De em 3 subintervalos tanto na direção x quanto na direção y. Isso significa que cada subretângulo terá a mesma área. A largura de cada subintervalo em x e y será:
Então, os subintervalos em x são [1,2], [2,3], [3,4] e o mesmo vale para y.

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos médios de cada subretângulo. Como cada subretângulo tem largura 1, os pontos médios em x e y serão:
xi = 1 + (i - 12) De
yj = 1 + (j - 12) De
Calculando:
x1 = 1.5, x2 = 2.5, x3 = 3.5
y1 = 1.5, y2 = 2.5, y3 = 3.5

Passo 4

Com os pontos médios, vamos calcular o valor da função f(xi, yj) = xi + yj em cada ponto:
f(1.5, 1.5) = 3.0, f(1.5, 2.5) = 4.0, f(1.5, 3.5) = 5.0
Então, para cada combinação de f(2.5, 1.5) = 4.0, f(2.5, 2.5) = 5.0, f(2.5, 3.5) = 6.0 e f(3.5, 1.5) = 5.0, f(3.5, 2.5) = 6.0, f(3.5, 3.5) = 7.0 :

Passo 5

Agora, vamos somar todos esses valores e multiplicar pela área de cada subretângulo, que é Soma de Riemann = sumi=1^3 sumj=1^3 f(xi, yj) times De. Então:

Passo 6

Para encontrar o valor médio da função fmed = 1Área de R integral duplaR f(x, y) , dA sobre a região fmed = 459 = 5 , usamos a fórmula:
Á
A área de é . Já estimamos a integral como 45, então:

Resposta

A estimativa da integral dupla usando somas de Riemann com é 45 e o valor médio da função é 5.

Exercícios relacionados