Utilize somas de Riemann com para estimar a integral da função , onde tomando como ponto amostral o ponto médio de cada subretângulo. Calcule também o valor médio da função.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos estimar a integral dupla da função sobre a região usando somas de Riemann com . Além disso, vamos usar o ponto médio de cada subretângulo para calcular essa soma e, por fim, encontrar o valor médio da função, denotado por .

Passo 2

Para resolver isso, precisamos dividir a região em 3 subintervalos tanto na direção x quanto na direção y. Isso significa que cada subretângulo terá a mesma área. A largura de cada subintervalo em x e y será:
Então, os subintervalos em x são [1,2], [2,3], [3,4] e o mesmo vale para y.

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos médios de cada subretângulo. Como cada subretângulo tem largura 1, os pontos médios em x e y serão:
Calculando:

Passo 4

Com os pontos médios, vamos calcular o valor da função em cada ponto:
Então, para cada combinação de e :

Passo 5

Agora, vamos somar todos esses valores e multiplicar pela área de cada subretângulo, que é . Então:

Passo 6

Para encontrar o valor médio da função sobre a região , usamos a fórmula:
Á
A área de é . Já estimamos a integral como 45, então:

Resposta

A estimativa da integral dupla usando somas de Riemann com é 45 e o valor médio da função é 5.

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Utilize somas de Riemann para estimar o volume do sólido abaixo do parabolóide e acima do retângulo com e , tomando como ponto amostral o canto inferior esquerdo. Calcule o volume exato usando Teorema de Fubini.
Calcule as integrais dadas:
.
Calcule as integrais dadas: