Utilize somas de Riemann com
para estimar a integral da função
, onde
tomando como ponto amostral o ponto médio de cada subretângulo. Calcule também o valor médio
da função.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos estimar a integral dupla da função
sobre a região
usando somas de Riemann com
. Além disso, vamos usar o ponto médio de cada subretângulo para calcular essa soma e, por fim, encontrar o valor médio da função, denotado por
.
Passo 2
Para resolver isso, precisamos dividir a região
em 3 subintervalos tanto na direção x quanto na direção y. Isso significa que cada subretângulo terá a mesma área. A largura de cada subintervalo em x e y será:
Então, os subintervalos em x são [1,2], [2,3], [3,4] e o mesmo vale para y.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos médios de cada subretângulo. Como cada subretângulo tem largura 1, os pontos médios em x e y serão:
Calculando:
Passo 4
Com os pontos médios, vamos calcular o valor da função
em cada ponto:
Então, para cada combinação de
e
:
Passo 5
Agora, vamos somar todos esses valores e multiplicar pela área de cada subretângulo, que é
. Então:
Passo 6
Para encontrar o valor médio da função
sobre a região
, usamos a fórmula:
A área de
é
. Já estimamos a integral como 45, então:
Resposta
A estimativa da integral dupla usando somas de Riemann com
é 45 e o valor médio da função
é 5.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla
, em que
é a região do plano cartesiano limitada pela reta
e pela parábola
. Esboce a região.
Utilize somas de Riemann para estimar o volume do sólido abaixo do parabolóide
e acima do retângulo
com
e
, tomando como ponto amostral o canto inferior esquerdo. Calcule o volume exato usando Teorema de Fubini.
Calcule as integrais dadas:
.
Calcule as integrais dadas: