Calcule a integral dupla
, em que
é a região do plano cartesiano limitada pela reta
e pela parábola
. Esboce a região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve cálculo e geometria no plano cartesiano. O problema pede para calcular
, onde
é a região delimitada pela reta
e pela parábola
. Para isso, precisamos entender como essas duas curvas se comportam e determinam a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar as curvas para visualizar a região
. A reta
é uma linha inclinada que corta o eixo
no ponto
e tem inclinação 1. A parábola
é uma curva simétrica em relação ao eixo
que abre para cima.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre a reta e a parábola para saber os limites de integração. Igualamos as duas equações:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Com os valores de
, encontramos os correspondentes valores de
:
Para
:
Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Agora, determinamos os limites de integração. Observando o comportamento das curvas entre
e
, vemos que a reta está acima da parábola nesse intervalo. Portanto, para cada
nesse intervalo,
varia de
até
.
Passo 7
Configuramos a integral dupla com os limites determinados:
Passo 8
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Simplificando:
Passo 9
Expandindo
:
Então, a expressão fica:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
de
a
:
Passo 11
Calculando a integral termo a termo:
Passo 12
Avaliaremos nos limites
e
:
Para
:
Para
:
Passo 13
Subtraindo os valores:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Utilize somas de Riemann para estimar o volume do sólido abaixo do parabolóide
e acima do retângulo
com
e
, tomando como ponto amostral o canto inferior esquerdo. Calcule o volume exato usando Teorema de Fubini.
Utilize integrais duplas para calcular a área:
Da região plana limitada pela parábola e pela reta
.
Da região plana limitada pela parábola
Utilize somas de Riemann com
para estimar a integral da função
, onde
tomando como ponto amostral o ponto médio de cada subretângulo. Calcule também o valor médio
da função.
Calcule as integrais dadas:
.