Calcule a integral dupla , em que é a região do plano cartesiano limitada pela reta e pela parábola . Esboce a região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve cálculo e geometria no plano cartesiano. O problema pede para calcular , onde é a região delimitada pela reta e pela parábola . Para isso, precisamos entender como essas duas curvas se comportam e determinam a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar as curvas para visualizar a região . A reta é uma linha inclinada que corta o eixo no ponto e tem inclinação 1. A parábola é uma curva simétrica em relação ao eixo que abre para cima.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre a reta e a parábola para saber os limites de integração. Igualamos as duas equações:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:

Passo 5

Com os valores de , encontramos os correspondentes valores de :
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Agora, determinamos os limites de integração. Observando o comportamento das curvas entre e , vemos que a reta está acima da parábola nesse intervalo. Portanto, para cada nesse intervalo, varia de até .

Passo 7

Configuramos a integral dupla com os limites determinados:

Passo 8

Vamos integrar em relação a primeiro:
Simplificando:

Passo 9

Expandindo :
Então, a expressão fica:

Passo 10

Agora, integramos em relação a de a :

Passo 11

Calculando a integral termo a termo:

Passo 12

Avaliaremos nos limites e :
Para :
Para :

Passo 13

Subtraindo os valores:

Resposta

A integral dupla vale .

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Da região plana limitada pela parábola e pela reta .
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Calcule as integrais dadas:
.