Calcule a integral dupla integral duplaD x y d A, em que D é a região do plano cartesiano limitada pela reta y=x+2 e pela parábola y=x^2. Esboce a região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve cálculo e geometria no plano cartesiano. O problema pede para calcular , onde é a região delimitada pela reta e pela parábola . Para isso, precisamos entender como essas duas curvas se comportam e determinam a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar as curvas para visualizar a região . A reta é uma linha inclinada que corta o eixo no ponto e tem inclinação 1. A parábola é uma curva simétrica em relação ao eixo que abre para cima.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre a reta e a parábola para saber os limites de integração. Igualamos as duas equações:
x + 2 = x^2
x^2 - x - 2 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 usando a fórmula de Bhaskara:
x = 2 e x = -1
Então, temos duas soluções:

Passo 5

Com os valores de y = 2 + 2 = 4 , encontramos os correspondentes valores de y = -1 + 2 = 1 :
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Agora, determinamos os limites de integração. Observando o comportamento das curvas entre e , vemos que a reta está acima da parábola nesse intervalo. Portanto, para cada nesse intervalo, varia de até .

Passo 7

Configuramos a integral dupla com os limites determinados:
integral duplaD x y , dA = integralx=-1^2 integraly=x^2^x+2 x y , dy , dx

Passo 8

Vamos integrar em relação a integraly=x^2^x+2 x y , dy = x [ y^22 ]x^2^x+2 = x ( (x+2)^22 - (x^2)^22 ) primeiro:
= x2 ( (x+2)^2 - x^4 )
Simplificando:

Passo 9

Expandindo (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 :
x2 ( x^2 + 4x + 4 - x^4 ) = x2 (-x^4 + x^2 + 4x + 4)
Então, a expressão fica:

Passo 10

Agora, integramos em relação a integral-1^2 x2 (-x^4 + x^2 + 4x + 4) , dx = 12 integral-1^2 (-x^5 + x^3 + 4x^2 + 4x) , dx de a :

Passo 11

Calculando a integral termo a termo:
12 [ -x^66 + x^44 + 4x^33 + 2x^2 ]-1^2

Passo 12

Avaliaremos nos limites -646 + 164 + 323 + 8 = -323 + 4 + 323 + 8 = 12 e -(-1)^66 + (-1)^44 + 4(-1)^33 + 2(-1)^2 = -16 + 14 - 43 + 2 = -212 + 312 - 1612 + 2412 = 912 = 34 :
Para :
Para :

Passo 13

Subtraindo os valores:
12 ( 12 - 34 ) = 12 ( 484 - 34 ) = 12 cdot 454 = 458

Resposta

A integral dupla vale .

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