Calcule as integrais dadas:
integral0^2 integraly^2^4 e^x^32 d x d y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral dupla:
integral0^2 integraly^2^4 e^x^32 , dx , dy
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que fazem parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar mudar a ordem de integração e usar uma substituição apropriada.

Passo 2

Vamos começar mudando a ordem de integração. Atualmente, y varia de 0 a 2 e, para cada y, x varia de integral0^4 integral0^raizx e^x^32 , dy , dx a 4. Se mudarmos a ordem, x vai de 0 a 4 e, para cada x, y vai de 0 a . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral mais interna em relação a y. Como integral0^raizx e^x^32 , dy = e^x^32 cdot raizx não depende de y, podemos tratá-la como uma constante:

Passo 4

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, temos:
integral0^4 e^x^32 cdot raizx , dx
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição.

Passo 5

Vamos definir dt = 32 x^12 , dx Rightarrow raizx , dx = 23 , dt . Então, derivando ambos os lados em relação a x:
integral e^t cdot 23 , dt = 23 integral e^t , dt
Agora, substituímos na integral:

Passo 6

Integrando 23 e^t + C em relação a t, obtemos:
23 e^x^32
Voltando à variável original x:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 4.

Passo 7

Calculando os limites:
23 ( e^4^32 - e^0 ) = 23 ( e^8 - 1 )

Resposta

O valor da integral é:
23 ( e^8 - 1 )

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