Calcule as integrais dadas:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que fazem parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar mudar a ordem de integração e usar uma substituição apropriada.
Passo 2
Vamos começar mudando a ordem de integração. Atualmente, y varia de 0 a 2 e, para cada y, x varia de
a 4. Se mudarmos a ordem, x vai de 0 a 4 e, para cada x, y vai de 0 a
. Assim, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral mais interna em relação a y. Como
não depende de y, podemos tratá-la como uma constante:
Passo 4
Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, temos:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição.
Passo 5
Vamos definir
. Então, derivando ambos os lados em relação a x:
Agora, substituímos na integral:
Passo 6
Integrando
em relação a t, obtemos:
Voltando à variável original x:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 4.
Passo 7
Calculando os limites:
Resposta
O valor da integral é:
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Considere a função:
.
Determine os pontos críticos.
Determine os pontos críticos.
Considere a função contínua
dada por
Calcule
Considere a função contínua
dada por
Interprete o resultado anterior em termos de áreas.