Calcule as integrais dadas:
.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que fazem parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar mudar a ordem de integração e usar uma substituição apropriada.

Passo 2

Vamos começar mudando a ordem de integração. Atualmente, y varia de 0 a 2 e, para cada y, x varia de a 4. Se mudarmos a ordem, x vai de 0 a 4 e, para cada x, y vai de 0 a . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral mais interna em relação a y. Como não depende de y, podemos tratá-la como uma constante:

Passo 4

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, temos:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição.

Passo 5

Vamos definir . Então, derivando ambos os lados em relação a x:
Agora, substituímos na integral:

Passo 6

Integrando em relação a t, obtemos:
Voltando à variável original x:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 4.

Passo 7

Calculando os limites:

Resposta

O valor da integral é:

Exercícios relacionados

Considere a função: .
Determine os pontos críticos.
Considere a função contínua dada por
Calcule
Considere a função contínua dada por
Interprete o resultado anterior em termos de áreas.