Considere a função contínua g: [-1/2, 4] → R dada por
g(x) = { 4^x - 1, se -1/2 <= x <= 1 ; 9/2 - 3x/2, se 1 <= x <= 4 }
Interprete o resultado anterior em termos de áreas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função contínua que é definida de duas maneiras diferentes em dois intervalos distintos:
  • Para , a função é .
  • Para , a função é .
Queremos interpretar essa função em termos de áreas, ou seja, calcular a área sob a curva de no intervalo de a .

Passo 2

Para encontrar a área sob a curva de no intervalo dado, precisamos calcular a integral definida de de a . Como a função é definida de forma diferente em dois intervalos, vamos dividir a integral em duas partes:
Á

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral: .
Sabemos que:
  • A integral de é .
  • A integral de é .
Então:
Agora, avaliamos de a :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral: .
A integral de é e a integral de é .
Então:
Avaliando de a :

Passo 5

Agora, somamos as duas áreas encontradas:
Á

Resposta

A área total sob a curva de no intervalo de a é:
Á

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