Considere a função contínua
dada por
Interprete o resultado anterior em termos de áreas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função contínua
que é definida de duas maneiras diferentes em dois intervalos distintos:
- Para
, a função é . - Para
, a função é .
Queremos interpretar essa função em termos de áreas, ou seja, calcular a área sob a curva de
no intervalo de
a
.
Passo 2
Para encontrar a área sob a curva de
no intervalo dado, precisamos calcular a integral definida de
de
a
. Como a função é definida de forma diferente em dois intervalos, vamos dividir a integral em duas partes:
Passo 3
Vamos calcular a primeira integral:
.
Sabemos que:
- A integral de
é . - A integral de
é .
Então:
Agora, avaliamos de
a
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda integral:
.
A integral de
é
e a integral de
é
.
Então:
Avaliando de
a
:
Passo 5
Agora, somamos as duas áreas encontradas:
Resposta
A área total sob a curva de
no intervalo de
a
é:
Exercícios relacionados
Considere a função contínua
dada por
Calcule
Calcule as integrais dadas:
.
Considere a função contínua
dada por
Calcule a área total da região limitada pelo gráfico da função
, pelo eixo
e as retas
e
.
Seja
a região compreendida entre os gráficos de
e
.
Encontre a área da região (Use a representação mais conveniente).
Encontre a área da região