Considere a função contínua g:[-12, 4] R dada por
g(x)= 4^x-1, & se -12 <= x <= 1 92-3 x2, & se 1 <= x <= 4
Calcule integral-1 / 2^4 g(x) d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de uma função contínua no intervalo . A função é definida por partes, ou seja, tem expressões diferentes dependendo do valor de . Para resolver essa integral, vamos precisar entender como integrar cada parte da função separadamente e depois somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função g(x) = 4^x - 1, & se -12 <= x <= 1 92 - 3x2, & se 1 <= x <= 4 é definida de duas maneiras diferentes:
Isso significa que precisamos calcular a integral em duas partes: de a e de a .

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral:
integral- 12^1 (4^x - 1) dx
Para integrar integral 4^x dx = 4^xln 4 , lembramos que a integral de em relação a é . Portanto:
E a integral de em relação a é .

Passo 4

Aplicando os limites de integração:
[ 4^xln 4 - x ]- 12^1 = ( 4^1ln 4 - 1 ) - ( 4^- 12ln 4 - (- 12) )
Simplificando:
= ( 4ln 4 - 1 ) - ( 12 ln 4 + 12 )
= 4ln 4 - 1 - 12 ln 4 - 12
= ( 4ln 4 - 12 ln 4 ) - (1 + 12)
= 72 ln 4 - 32

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral1^4 ( 92 - 3x2 ) dx
Essa é uma função polinomial simples. A integral de em relação a é e a integral de é .

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
[ 92x - 34x^2 ]1^4 = ( 92 cdot 4 - 34 cdot 16 ) - ( 92 cdot 1 - 34 cdot 1 )
Simplificando:
= ( 18 - 12 ) - ( 92 - 34 )
= 6 - ( 92 - 34 )
= 6 - 154
= 244 - 154
= 94

Passo 7

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
72 ln 4 - 32 + 94 = 72 ln 4 - 32 + 94
= 72 ln 4 - 64 + 94
= 72 ln 4 + 34

Resposta

integral- 12^4 g(x) dx = 72 ln 4 + 34

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