Calcule as integrais dadas:
integralpi4^pi2 integral-1^1 r sen(x)1+r^2 d r d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício pediu:
integralpi4^pi2 integral-1^1 r cdot sin(x)1 + r^2 , dr , dx
Estamos trabalhando com integrais duplas, que envolvem calcular uma integral dentro de outra. Para resolver isso, vamos primeiro calcular a integral interna (em relação a ), e depois a integral externa (em relação a ). Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, ou seja, a integral em relação a integral-1^1 r cdot sin(x)1 + r^2 , dr :
sin(x) cdot integral-1^1 r1 + r^2 , dr
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos tirar ela de fora da integral:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral u = 1 + r^2 Rightarrow dudr = 2r Rightarrow du2 = r , dr .
Para isso, usamos uma técnica chamada substituição. Observamos que o numerador integral r1 + r^2 , dr = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C = 12 ln(1 + r^2) + C é a derivada de . Então, fazemos:
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de 12 [ ln(1 + (1)^2) - ln(1 + (-1)^2) ] = 12 [ln(2) - ln(2)] = 12 times 0 = 0 a :

Passo 5

Então, a integral interna resulta em zero:
sin(x) cdot 0 = 0

Passo 6

Agora, voltamos à integral externa:
integralpi4^pi2 0 , dx = 0

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados