Utilize integrais duplas para calcular a área:
Da região plana limitada pela parábola
e pela reta
.
Da região plana limitada pela parábola
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente use integrais duplas para calcular a área da região no plano que está limitada pela parábola
e pela reta
. Vamos precisar entender como essas curvas se interceptam e configurar a integral dupla corretamente para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a parábola e a reta se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo a segunda na primeira:
Vamos resolver essa equação para encontrar os pontos de interseção.
Passo 3
Expandindo a equação:
Levendo tudo para um lado:
Resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são
e
.
Passo 4
Agora que temos os valores de
, encontramos os correspondentes valores de
usando a equação da reta
:
- Para
: - Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Vamos agora determinar quais funções estão acima da outra no intervalo
entre 0 e 6. Observando as equações:
- A parábola
- A reta
Comparando as duas, vemos que para
entre 0 e 6, a reta está à direita da parábola, ou seja,
é maior que
.
Passo 6
Para calcular a área entre essas curvas usando integrais duplas, podemos integrar em relação a
de 0 a 6 e em relação a
da funcão da parábola até a reta:
Vamos resolver essa integral.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 8
Integrando em relação a
:
Aplicamos os limites de 0 a 6:
Resposta
A área da região limitada pela parábola
e pela reta
é 36 unidades de área.