Utilize integrais duplas para calcular a área:
Da região plana limitada pela parábola x = y^2 - 5y + 6 e pela reta y = x - 6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente use integrais duplas para calcular a área da região no plano que está limitada pela parábola e pela reta . Vamos precisar entender como essas curvas se interceptam e configurar a integral dupla corretamente para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a parábola e a reta se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo a segunda na primeira:
Vamos resolver essa equação para encontrar os pontos de interseção.

Passo 3

Expandindo a equação:
Levendo tudo para um lado:
Resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são e .

Passo 4

Agora que temos os valores de , encontramos os correspondentes valores de usando a equação da reta :
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Vamos agora determinar quais funções estão acima da outra no intervalo entre 0 e 6. Observando as equações:
  • A parábola
  • A reta
Comparando as duas, vemos que para entre 0 e 6, a reta está à direita da parábola, ou seja, é maior que .

Passo 6

Para calcular a área entre essas curvas usando integrais duplas, podemos integrar em relação a de 0 a 6 e em relação a da funcão da parábola até a reta:
Á
Vamos resolver essa integral.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Á

Passo 8

Integrando em relação a :
Aplicamos os limites de 0 a 6:

Resposta

A área da região limitada pela parábola e pela reta é 36 unidades de área.

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