Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolva as que o forem

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial que a gente precisa verificar se é exata. A equação dada é . Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas para resolver isso. Precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando e . Vamos chamar de e respectivamente:

Passo 3

Para saber se a equação é exata, a gente precisa verificar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, precisamos ver se:

Passo 4

Vamos calcular :

Passo 5

Agora, vamos calcular :

Passo 6

Vemos que:
Como as duas derivadas são iguais, a equação é exata.

Passo 7

Como a equação é exata, a gente pode encontrar uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Onde é uma função de que vamos determinar.

Passo 8

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Determine se as equacões abaixo são lineares, homogêneas, separáveis e/ou exatas.
Use a regra da cadeia para determinar ou .
Calcule as integrais dadas: