Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolva as que o forem
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial que a gente precisa verificar se é exata. A equação dada é
. Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas para resolver isso. Precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando
e
. Vamos chamar de
e
respectivamente:
Passo 3
Para saber se a equação é exata, a gente precisa verificar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, precisamos ver se:
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Passo 6
Vemos que:
Como as duas derivadas são iguais, a equação é exata.
Passo 7
Como a equação é exata, a gente pode encontrar uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Onde
é uma função de
que vamos determinar.
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Determine se as equacões abaixo são lineares, homogêneas, separáveis e/ou exatas.
Use a regra da cadeia para determinar
ou
.
Calcule as integrais dadas: