Utilize somas de Riemann para estimar o volume do sólido abaixo do parabolóide
e acima do retângulo
com
e
, tomando como ponto amostral o canto inferior esquerdo. Calcule o volume exato usando Teorema de Fubini.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está abaixo do paraboloide
e acima de um retângulo
definido por
e
. Para isso, vamos usar somas de Riemann com 4 divisões em x e 3 em y, usando o canto inferior esquerdo como ponto amostral. Depois, vamos calcular o volume exato usando o Teorema de Fubini. Para resolver isso, vamos precisar entender como dividir o retângulo, calcular as áreas dos pequenos retângulos e aplicar as funções no paraboloide.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o retângulo
em sub-retângulos menores. Já que temos
divisões em x e
em y, calculamos a largura de cada divisão:
Então, cada sub-retângulo terá largura 0,5 em x e altura 1 em y.
Passo 3
Agora, identificamos os pontos amostrais, que são os cantos inferiores esquerdos de cada sub-retângulo. Esses pontos são:
Ou seja, os pontos são:
Mas considerando as divisões corretas, ajustamos os índices para cobrir todo o retângulo.
Passo 4
Vamos calcular a soma de Riemann. Para cada ponto amostral
, calculamos
e multiplicamos pela área do sub-retângulo
. A soma total será:
Substituindo os valores de
e
, somamos todos os valores para obter uma estimativa do volume.
Passo 5
Para encontrar o volume exato, usamos o Teorema de Fubini, que permite calcular a integral dupla sobre o retângulo
:
Primeiro, integramos em relação a y:
Calculando isso, obtemos:
Agora, integramos em relação a x:
Resposta
O volume exato do sólido é 100 unidades cúbicas.