Utilize somas de Riemann para estimar o volume do sólido abaixo do parabolóide z = 25 - x^2 - y^2 e acima do retângulo R = {(x, y) em R^2 | 0 <= x <= 2, 1 <= y <= 4} com m = 4 e n = 3, tomando como ponto amostral o canto inferior esquerdo. Calcule o volume exato usando Teorema de Fubini.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está abaixo do paraboloide e acima de um retângulo definido por e . Para isso, vamos usar somas de Riemann com 4 divisões em x e 3 em y, usando o canto inferior esquerdo como ponto amostral. Depois, vamos calcular o volume exato usando o Teorema de Fubini. Para resolver isso, vamos precisar entender como dividir o retângulo, calcular as áreas dos pequenos retângulos e aplicar as funções no paraboloide.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o retângulo em sub-retângulos menores. Já que temos divisões em x e em y, calculamos a largura de cada divisão:
Então, cada sub-retângulo terá largura 0,5 em x e altura 1 em y.

Passo 3

Agora, identificamos os pontos amostrais, que são os cantos inferiores esquerdos de cada sub-retângulo. Esses pontos são:
Ou seja, os pontos são:
Mas considerando as divisões corretas, ajustamos os índices para cobrir todo o retângulo.

Passo 4

Vamos calcular a soma de Riemann. Para cada ponto amostral , calculamos e multiplicamos pela área do sub-retângulo . A soma total será:
Substituindo os valores de e , somamos todos os valores para obter uma estimativa do volume.

Passo 5

Para encontrar o volume exato, usamos o Teorema de Fubini, que permite calcular a integral dupla sobre o retângulo :
Primeiro, integramos em relação a y:
Calculando isso, obtemos:
Agora, integramos em relação a x:

Resposta

O volume exato do sólido é 100 unidades cúbicas.

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