Calcule as integrais dadas a seguir.
(b) integral0^pi / 4(cos 2 t imath+sen 2 t jmath+t sen t k) d t.

Passo 1

Beleza, a gente vai calcular a integral . Isso faz parte do conteúdo de cálculo de integrais de funções vetoriais. Vamos precisar integrar cada componente dessa função vetorial separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a componente integral cos 2t , dt = 12 sen 2t em relação a . A integral de é , onde é uma constante. Aqui, , então:

Passo 3

Agora, vamos integrar a componente . A integral de é integral sen 2t , dt = -12 cos 2t . Com , temos:

Passo 4

A terceira componente é . Para integrar isso, usamos a técnica de integração por partes, que é integral t sen t , dt = -t cos t + integral cos t , dt = -t cos t + sen t . Vamos escolher:
  • então
  • então
Aplicando a integração por partes:

Passo 5

Agora, vamos avaliar cada integral definida de 0 a 12 sen 2(pi4) - 12 sen 0 = 12 sen pi2 - 0 = 12 times 1 = 12 .
  1. Para :
  1. Para -12 cos pi2 - (-12 cos 0) = -12 times 0 - (-12 times 1) = 0 + 12 = 12 :
-pi4 cos pi4 + sen pi4 - (0 + 0) = -pi4 times raiz22 + raiz22 = -pi raiz28 + raiz22
  1. Para :

Resposta

A integral avaliada é:
12 imath + 12 jmath + ( raiz22 - pi raiz28 ) k

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