Calcule a integral iterada:
b. integral1^2 integral0^x integral0^1-y x^3 y^2 z d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral iterada:
integral1^2 integral0^x integral0^1-y x^3 y^2 z , dz , dy , dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais iteradas em três variáveis: , e . Vamos precisar integrar a função primeiro em relação a , depois em relação a e, por último, em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integral0^1-y x^3 y^2 z , dz em relação a x^3 y^2 integral0^1-y z , dz , mantendo x^3 y^2 [ 12 z^2 ]0^1-y = x^3 y^2 ( 12 (1-y)^2 - 0 ) = 12 x^3 y^2 (1 - y)^2 e constantes. A integral de é:
Como e são constantes em relação a , podemos trazê-los para fora da integral:
A integral de em relação a é , então:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^x 12 x^3 y^2 (1 - y)^2 , dy , de 0 a 12 x^3 integral0^x y^2 (1 - y)^2 , dy :
(1 - y)^2 = 1 - 2y + y^2
Vamos simplificar a constante y^2 (1 - y)^2 = y^2 - 2y^3 + y^4 para fora da integral:
12 x^3 integral0^x ( y^2 - 2y^3 + y^4 ) dy
Para resolver essa integral, podemos expandir :
Então, multiplicando por :
Agora, a integral fica:

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
integral y^2 , dy = 13 y^3
integral -2y^3 , dy = -24 y^4 = -12 y^4
integral y^4 , dy = 15 y^5
Então, a integral completa é:
12 x^3 [ 13 y^3 - 12 y^4 + 15 y^5 ]0^x
Aplicando os limites de 12 x^3 ( 13 x^3 - 12 x^4 + 15 x^5 ) a :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
12 x^3 ( 13 x^3 - 12 x^4 + 15 x^5 ) = 12 ( 13 x^6 - 12 x^7 + 15 x^8 )
Multiplicando a 16 x^6 - 14 x^7 + 110 x^8 :

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral1^2 ( 16 x^6 - 14 x^7 + 110 x^8 ) dx , de 1 a 2:
integral 16 x^6 , dx = 16 cdot 17 x^7 = 142 x^7
Vamos integrar termo a termo:
integral -14 x^7 , dx = -14 cdot 18 x^8 = -132 x^8
integral 110 x^8 , dx = 110 cdot 19 x^9 = 190 x^9
[ 142 x^7 - 132 x^8 + 190 x^9 ]1^2
Então, a integral completa é:

Passo 7

Vamos substituir os limites de 1 a 2:
Para 142 (2)^7 - 132 (2)^8 + 190 (2)^9 = 12842 - 25632 + 51290 :
12842 = 6421, 25632 = 8, 51290 = 25645
Simplificando:
6421 - 8 + 25645
Então:
6421 = 960315, 8 = 2520315, 25645 = 1792315
Para somar, vamos encontrar o denominador comum, que é 315:
960315 - 2520315 + 1792315 = 960 - 2520 + 1792315 = (960 + 1792) - 2520315 = 2752 - 2520315 = 232315
Assim:
142 (1)^7 - 132 (1)^8 + 190 (1)^9 = 142 - 132 + 190
Para 142 = 1606720, 132 = 2106720, 190 = 74.6666720 :
1606720 - 2106720 + 756720 = 160 - 210 + 756720 = 256720 = 51344
Vamos encontrar o denominador comum, que é 6720:
Aproximando:

Resposta

Subtraindo os valores:
232315 - 51344 = 232 times 1344 - 5 times 315315 times 1344 = 311808 - 1575423360 = 310233423360 approx 0,7329
Portanto, o valor da integral é aproximadamente 0,7329.

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