Determine o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover um objeto de
a
.
b.
,
e
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o trabalho realizado por um campo de força
ao mover um objeto do ponto
para o ponto
. Vamos trabalhar com vetores e integrais de linha, que são ferramentas da física e matemática usadas para calcular trabalhos em campos de força.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o trabalho realizado por um campo de força. O trabalho (
) é dado pela integral de linha do campo de força
ao longo do caminho que o objeto percorre de
a
. Matematicamente, isso é representado por:
Onde:
-
é o campo de força. -
é um elemento infinitesimal do caminho . - O ponto entre
e significa produto escalar.
Passo 3
Agora, nosso campo de força é dado por:
E queremos mover de
para
.
Passo 4
Antes de calcular a integral, vou explicar que em alguns casos, se o campo de força for conservativo, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
E o trabalho seria simplesmente:
Então, vamos verificar se nosso campo
é conservativo.
Passo 5
Para verificar se
é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, se:
Calculando:
Como essas derivadas são iguais, o campo
é conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
que pode ser determinada usando a segunda componente de
:
Calculando a derivada:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos tomar
.
Então, a função potencial é:
Passo 7
Agora, usamos a função potencial para calcular o trabalho:
Substituindo os pontos:
Então:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força
ao mover o objeto de
para
é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
.
Utilizando coordenadas esféricas, calcule o valor da integral
onde
é a esfera de raio
Calcule a integral iterada:
b.
b.
Calcule as integrais dadas a seguir.
(b) .
(b)