Determine o trabalho realizado pelo campo de força ao mover um objeto de a .
b. ,
e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o trabalho realizado por um campo de força ao mover um objeto do ponto para o ponto . Vamos trabalhar com vetores e integrais de linha, que são ferramentas da física e matemática usadas para calcular trabalhos em campos de força.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o trabalho realizado por um campo de força. O trabalho ( ) é dado pela integral de linha do campo de força ao longo do caminho que o objeto percorre de a . Matematicamente, isso é representado por:
Onde:
  • é o campo de força.
  • é um elemento infinitesimal do caminho .
  • O ponto entre e significa produto escalar.

Passo 3

Agora, nosso campo de força é dado por:
E queremos mover de para .

Passo 4

Antes de calcular a integral, vou explicar que em alguns casos, se o campo de força for conservativo, podemos encontrar uma função potencial tal que:
E o trabalho seria simplesmente:
Então, vamos verificar se nosso campo é conservativo.

Passo 5

Para verificar se é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais. Ou seja, se:
Calculando:
Como essas derivadas são iguais, o campo é conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de que pode ser determinada usando a segunda componente de :
Calculando a derivada:
Isso implica que , então é uma constante. Podemos tomar .
Então, a função potencial é:

Passo 7

Agora, usamos a função potencial para calcular o trabalho:
Substituindo os pontos:
Então:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força ao mover o objeto de para é:

Exercícios relacionados

Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde é a região limitada pelo semicírculo e o eixo .
Utilizando coordenadas esféricas, calcule o valor da integral
onde é a esfera de raio
Calcule a integral iterada:
b.
Calcule as integrais dadas a seguir.
(b) .