Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que encontrar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície definida por no ponto . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde usamos derivadas parciais para analisar superfícies. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e para achar a inclinação da superfície nesse ponto e, assim, determinar as equações solicitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
Agora, a derivada parcial de em relação a é:
Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície nos eixos e .

Passo 3

Vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Para em :
Para em :
Agora, temos o gradiente da superfície no ponto, que nos dá um vetor normal ao plano tangente:

Passo 4

Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Para a reta normal, usamos o ponto e o vetor normal como direção. A equação paramétrica da reta é:

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:

Exercícios relacionados

Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais e :
Calcule as integrais dadas a seguir: .
Uma parede vertical forma um ângulo de radianos com o chão. Uma escada de 200 cm de comprimento está apoiada na parede e sua parte superior desliza para baixo à taxa de . Com que velocidade varia a área do triângulo formado por escada, parede e chão, quando a escada forma um ângulo de radianos com o chão?
Verificar se a função é solução da equação diferencial .