Calcule as integrais definidas abaixo.
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa calcular a integral definida . Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de integração por partes, que é uma técnica usada quando temos um produto de funções, como e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos para ser a parte que simplifica ao derivar e para ser a parte fácil de integrar.
Vamos definir:

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, temos uma nova integral que também requer integração por partes. Vamos repetir o processo para essa integral.

Passo 4

Para , escolhemos:
Aplicando novamente a integração por partes:

Passo 5

Agora, precisamos resolver usando integração por partes mais uma vez.
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando às etapas anteriores, substituímos o resultado de :

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na expressão original:

Passo 8

Finalmente, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Calculando para :
Calculando para :
Então, a integral definida é:

Resposta

A integral definida é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais definidas abaixo.
(d) .
Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(a) .
Determine de modo que
O plano
intersecta os eixos e respectivamente nos pontos e . Calcule a área do triângulo .