Calcule as integrais definidas abaixo.
(b) integral0^1 x^3 e^x d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa calcular a integral definida . Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de integração por partes, que é uma técnica usada quando temos um produto de funções, como e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u = x^3 Rightarrow du = 3x^2 dx e dv = e^x dx Rightarrow v = e^x . Geralmente, escolhemos para ser a parte que simplifica ao derivar e para ser a parte fácil de integrar.
Vamos definir:

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^3 e^x dx = x^3 e^x - integral e^x cdot 3x^2 dx
= x^3 e^x - 3 integral x^2 e^x dx
Agora, temos uma nova integral que também requer integração por partes. Vamos repetir o processo para essa integral.

Passo 4

Para u = x^2 Rightarrow du = 2x dx , escolhemos:
dv = e^x dx Rightarrow v = e^x
integral x^2 e^x dx = x^2 e^x - integral e^x cdot 2x dx
Aplicando novamente a integração por partes:
= x^2 e^x - 2 integral x e^x dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver u = x Rightarrow du = dx usando integração por partes mais uma vez.
Escolhemos:
dv = e^x dx Rightarrow v = e^x
integral x e^x dx = x e^x - integral e^x cdot 1 dx
Aplicando a fórmula:
= x e^x - e^x + C

Passo 6

Voltando às etapas anteriores, substituímos o resultado de integral x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2 (x e^x - e^x) :
= x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na expressão original:
integral x^3 e^x dx = x^3 e^x - 3 (x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x)
= x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6 e^x

Passo 8

Finalmente, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
[ x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6 e^x ]0^1
Calculando para 1^3 e^1 - 3(1)^2 e^1 + 6(1) e^1 - 6 e^1 = e - 3e + 6e - 6e = (1 - 3 + 6 - 6)e = (-2)e :
0 - 0 + 0 - 6 e^0 = -6(1) = -6
Calculando para (-2e) - (-6) = -2e + 6 :
Então, a integral definida é:

Resposta

A integral definida é igual a .

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