Calcule as integrais definidas abaixo.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa calcular a integral definida
. Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a fórmula de integração por partes, que é uma técnica usada quando temos um produto de funções, como
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Geralmente, escolhemos
para ser a parte que simplifica ao derivar e
para ser a parte fácil de integrar.
Vamos definir:
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, temos uma nova integral
que também requer integração por partes. Vamos repetir o processo para essa integral.
Passo 4
Para
, escolhemos:
Aplicando novamente a integração por partes:
Passo 5
Agora, precisamos resolver
usando integração por partes mais uma vez.
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Voltando às etapas anteriores, substituímos o resultado de
:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na expressão original:
Passo 8
Finalmente, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Calculando para
:
Calculando para
:
Então, a integral definida é:
Resposta
A integral definida
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais definidas abaixo.
(d) .
(d)
Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(a) .
(a)
Determine
de modo que
O plano
intersecta os eixos
e
respectivamente nos pontos
e
. Calcule a área do triângulo
.