Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(a) integral(12 x-2 x sen x+cos x) d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais envolvendo funções racionais e trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos dividir cada termo e integrar separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar integral 12x dx = 12 ln|x| . A integral de é , então:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral u , dv = uv - integral v , du . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é usada quando temos o produto de duas funções. A regra de integração por partes é:
integral x sin x , dx = -x cos x + integral cos x , dx = -x cos x + sin x
Escolhemos -2 integral x sin x , dx = 2x cos x - 2 sin x e . Então, calculamos e . Aplicando a fórmula:
Multiplicando pelo :

Passo 4

Por último, vamos integrar integral cos x , dx = sin x . A integral de é :

Resposta

Somando todas as integrais, temos:
12 ln|x| + 2x cos x - 2 sin x + sin x + C = 12 ln|x| + 2x cos x - sin x + C
Onde é a constante de integração.

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