Calcule as integrais definidas abaixo.
(d) integral0^1 e^raizx d x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 1. Para isso, vamos usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Seja . Então, e derivando ambos os lados, temos .

Passo 3

Agora, substituímos integral0^1 e^raizx , dx = integral0^1 e^u cdot 2u , du = 2 integral0^1 u e^u , du por e por na integral original:

Passo 4

Para resolver integral u , dv = u v - integral v , du , usamos a técnica de integração por partes. Lembrando que para integração por partes, usamos a fórmula:
Aqui, vamos escolher e .

Passo 5

Calculando du = du v = integral e^u , du = e^u e integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C :
Aplicando a fórmula de integração por partes:

Passo 6

Voltando à nossa integral original:
2 integral0^1 u e^u , du = 2 [ u e^u - e^u ]0^1
Calculando nos limites de 0 a 1:
2 [ (1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) ] = 2 [ (e - e) - (0 - 1) ] = 2 cdot 1 = 2

Resposta

A integral definida de de 0 a 1 é igual a 2.

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