intersecta os eixos e respectivamente nos pontos e . Calcule a área do triângulo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um plano dado pela equação . Esse plano corta os eixos , e nos pontos , e respectivamente. Nosso objetivo é calcular a área do triângulo formado por esses três pontos, ou seja, . Para fazer isso, vamos precisar entender como encontrar os pontos de interseção e, depois, usar vetores para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos , e . Para isso, lembramos que quando o plano intercepta um eixo, duas das três coordenadas são zero.
Ponto no eixo : Aqui, e . Substituindo na equação do plano:
Então, .
Ponto no eixo : Aqui, e . Substituindo:
Então, .
Ponto no eixo : Aqui, e . Substituindo:
Então, .
Passo 3
Agora que temos os pontos , e , vamos calcular a área do triângulo . Para isso, vamos usar o conceito de vetores e produto vetorial (ou vetorial cruzado).
Primeiro, criamos dois vetores que formam o triângulo:
Vetor : É a diferença entre e :
Vetor : É a diferença entre e :
Passo 4
O próximo passo é calcular o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de e nos dá um vetor perpendicular ao plano formado por e , e a magnitude desse vetor é igual ao dobro da área do triângulo.
Calculando o produto vetorial:
Expandindo o determinante:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante:
Lembrando que essa magnitude é igual ao dobro da área do triângulo, então: