O plano
intersecta os eixos e respectivamente nos pontos e . Calcule a área do triângulo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um plano dado pela equação . Esse plano corta os eixos , e nos pontos , e respectivamente. Nosso objetivo é calcular a área do triângulo formado por esses três pontos, ou seja, . Para fazer isso, vamos precisar entender como encontrar os pontos de interseção e, depois, usar vetores para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos , e . Para isso, lembramos que quando o plano intercepta um eixo, duas das três coordenadas são zero.
  • Ponto no eixo : Aqui, e . Substituindo na equação do plano:
    Então, .
  • Ponto no eixo : Aqui, e . Substituindo:
    Então, .
  • Ponto no eixo : Aqui, e . Substituindo:
    Então, .

Passo 3

Agora que temos os pontos , e , vamos calcular a área do triângulo . Para isso, vamos usar o conceito de vetores e produto vetorial (ou vetorial cruzado).
Primeiro, criamos dois vetores que formam o triângulo:
  • Vetor : É a diferença entre e :
  • Vetor : É a diferença entre e :

Passo 4

O próximo passo é calcular o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de e nos dá um vetor perpendicular ao plano formado por e , e a magnitude desse vetor é igual ao dobro da área do triângulo.
Calculando o produto vetorial:
Expandindo o determinante:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante:
Lembrando que essa magnitude é igual ao dobro da área do triângulo, então:
Á

Resposta

A área do triângulo é unidades de área.

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Determine de modo que
Calcule as integrais definidas abaixo.
(b) .
Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(h) .
Calcule as integrais definidas abaixo.
© .