Determine b in R de modo que
integral-2^b 4 x e^4 x d x=94 e^8+23 e^4 b4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral definida de de até . O que a gente quer é encontrar o valor de que faz essa integral ser igual a . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais de funções que são produtos de polinômios e exponenciais, usando integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral integral u , dv = uv - integral v , du . Aqui, usamos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
du = 4 dx
Vamos escolher v = integral e^4x dx = e^4x4 e integral 4x e^4x dx = u v - integral v , du = 4x cdot e^4x4 - integral e^4x4 cdot 4 dx . Assim, precisamos encontrar = x e^4x - integral e^4x dx = x e^4x - e^4x4 + C e :
Agora, aplicando a fórmula:
Simplificando:
Onde é a constante de integração. Como estamos trabalhando com integrais definidas, vamos aplicar os limites agora.

Passo 3

A seguir, aplicamos os limites de integral-2^b 4x e^4x dx = [ x e^4x - e^4x4 ]-2^b = ( b e^4b - e^4b4 ) - ( (-2) e^-8 - e^-84 ) a b e^4b - e^4b4 = e^4b ( b - 14 ) :
-2 e^-8 - e^-84 = e^-8 ( -2 - 14 ) = e^-8 ( -94 ) = -9 e^-84
Vamos simplificar cada parte:
Para e^4b ( b - 14 ) + 9 e^-84 :
Para :
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, igualamos essa expressão ao lado direito da equação dada:
e^4b ( b - 14 ) + 9 e^-84 = 94 e^8 + 23 e^4 b4
Observamos que e^4b ( b - 14 ) + 94 e^8 = 94 e^8 + 23 e^4 b4 , então podemos reescrever:
e^4b ( b - 14 ) = 23 e^4 b4
Agora, podemos subtrair de ambos os lados:

Passo 5

Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por b - 14 = 234 (lembrando que b = 234 + 14 = 244 = 6 nunca é zero):
Agora, isolamos :

Resposta

O valor de que satisfaz a equação dada é .

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