Calcule as integrais definidas abaixo.
© integral0^pi / 4(sec ^2(x)+cos (2 x)) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as antiderivadas de e .

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral0^pi / 4 sec^2(x) , dx + integral0^pi / 4 cos(2x) , dx

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral, integral sec^2(x) , dx = tan(x) + C . Sabemos que a antiderivada de é , porque a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral, integral cos(2x) , dx = 12 sin(2x) + C . Utilizamos uma regra básica de integração para funções trigonométricas: a antiderivada de é . Aqui, , então temos:

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração tan(pi4) - tan(0) = 1 - 0 = 1 e 12 sin(2 cdot pi4) - 12 sin(0) = 12 sin(pi2) - 0 = 12 cdot 1 = 12 em cada antiderivada:
Para :
Para :

Resposta

Somando os dois resultados: . Portanto, o valor da integral é .

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