Sobre conceitos básicos de equações diferenciais, responda e justifique suas respostas.
i) Assinale quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial x y' + 2 y = 4 x^2.
( ) y = 0
( ) y = (x^4 - 1) / x^2
( ) y = x^2
( ) y = x^(-2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial e precisamos verificar quais das funções dadas são soluções dessa equação. Isso envolve calcular a derivada de cada função e substituir na equação para ver se a igualdade é verdadeira. Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, tipo derivadas e substituição em equações.

Passo 2

Primeiro, vamos testar .
Calculando a derivada:
Substituindo na equação:
Isso não é verdadeiro a menos que , mas a equação precisa valer para todo . Então, não é uma solução.

Passo 3

Agora, vamos testar .
Simplificando a função:
Calculando a derivada:
Substituindo na equação:
Isso confirma que a igualdade é verdadeira para qualquer diferente de zero. Portanto, é uma solução.

Passo 4

Vamos para .
Calculando a derivada:
Substituindo na equação:
A igualdade é verdadeira para todo . Assim, é uma solução.

Passo 5

Por último, vamos verificar .
Calculando a derivada:
Substituindo na equação:
Isso só é verdadeiro se , o que não satisfaz para todo . Logo, não é uma solução.

Resposta

As funções que são soluções da equação diferencial são:

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