iii)indique uma condição inicial para a qual não há garantia de que a EDO dada tenha solução única.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para indicarmos uma condição inicial para a qual não temos garantia de que a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada tenha uma solução única. Aqui, vamos trabalhar com o conteúdo de EDOs e o teorema de existência e unicidade, que são fundamentais para entender quando uma solução única está garantida ou não. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como o teorema de Picard-Lindelöf funciona e entender as condições que ele requer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Picard-Lindelöf, que nos diz que, para a EDO na forma com a condição inicial , existe uma solução única no entorno de se as seguintes condições forem atendidas:
  1. A função é contínua em uma região ao redor de .
  2. satisfaz a condição de Lipschitz em nessa região.
Agora, se quisermos uma condição inicial onde não há garantia de solução única, precisamos escolher um ponto onde pelo menos uma dessas condições falha. A maneira mais comum de quebrar a unicidade é garantir que a função não seja Lipschitz em .

Passo 3

Vamos usar um exemplo clássico para ilustrar isso. Considere a EDO com a condição inicial .
Aqui, a função não é Lipschitz contínua em porque a derivada de em é infinita. Isso significa que o teorema de Picard-Lindelöf não garante a unicidade da solução nesse ponto.

Resposta

Uma condição inicial para a qual a EDO não garante solução única é .

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