iii)indique uma condição inicial para a qual não há garantia de que a EDO dada tenha solução única.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para indicarmos uma condição inicial para a qual não temos garantia de que a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada tenha uma solução única. Aqui, vamos trabalhar com o conteúdo de EDOs e o teorema de existência e unicidade, que são fundamentais para entender quando uma solução única está garantida ou não. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como o teorema de Picard-Lindelöf funciona e entender as condições que ele requer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Picard-Lindelöf, que nos diz que, para a EDO na forma
com a condição inicial
, existe uma solução única no entorno de
se as seguintes condições forem atendidas:
- A função
é contínua em uma região ao redor de . -
satisfaz a condição de Lipschitz em nessa região.
Agora, se quisermos uma condição inicial onde não há garantia de solução única, precisamos escolher um ponto
onde pelo menos uma dessas condições falha. A maneira mais comum de quebrar a unicidade é garantir que a função
não seja Lipschitz em
.
Passo 3
Vamos usar um exemplo clássico para ilustrar isso. Considere a EDO
com a condição inicial
.
Aqui, a função
não é Lipschitz contínua em
porque a derivada de
em
é infinita. Isso significa que o teorema de Picard-Lindelöf não garante a unicidade da solução nesse ponto.
Resposta
Uma condição inicial para a qual a EDO
não garante solução única é
.