Use o teorema da existência e unicidade e responda:
ii) há garantia de que a equação diferencial x y' + 2 y = 4 x^2 tem uma única solução que passa pelo ponto (x0, y0) = (1, 2) ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o Teorema da Existência e Unicidade para verificar se a equação diferencial tem uma única solução que passa pelo ponto . Esse teorema nos ajuda a saber se, dado um ponto inicial, existe uma solução única para a equação diferencial em torno desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para a forma padrão . Isso facilita a aplicação do teorema. Dividindo ambos os lados da equação por (supondo que ), temos:
Agora, isolando :
Então, nossa função é:

Passo 3

O Teorema da Existência e Unicidade diz que, se e sua derivada parcial em relação a , , forem contínuas em uma região ao redor do ponto inicial , então existe uma única solução que passa por esse ponto.
Vamos verificar a continuidade de e .

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, analisamos a continuidade:
  • é contínua para todo .
  • também é contínua para todo .

Passo 5

Como o ponto inicial é , onde , estamos em uma região onde e são contínuas. Portanto, as condições do teorema são satisfeitas nesse ponto.

Resposta

Sim, há garantia de que a equação diferencial possui uma única solução que passa pelo ponto , conforme o Teorema da Existência e Unicidade.

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