Use o teorema da existência e unicidade e responda:
ii) há garantia de que a equação diferencial
tem uma única solução que passa pelo ponto
? Justifique.
ii) há garantia de que a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos o Teorema da Existência e Unicidade para verificar se a equação diferencial
tem uma única solução que passa pelo ponto
. Esse teorema nos ajuda a saber se, dado um ponto inicial, existe uma solução única para a equação diferencial em torno desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para a forma padrão
. Isso facilita a aplicação do teorema. Dividindo ambos os lados da equação por
(supondo que
), temos:
Agora, isolando
:
Então, nossa função
é:
Passo 3
O Teorema da Existência e Unicidade diz que, se
e sua derivada parcial em relação a
,
, forem contínuas em uma região ao redor do ponto inicial
, então existe uma única solução que passa por esse ponto.
Vamos verificar a continuidade de
e
.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, analisamos a continuidade:
-
é contínua para todo . -
também é contínua para todo .
Passo 5
Como o ponto inicial é
, onde
, estamos em uma região onde
e
são contínuas. Portanto, as condições do teorema são satisfeitas nesse ponto.
Resposta
Sim, há garantia de que a equação diferencial
possui uma única solução que passa pelo ponto
, conforme o Teorema da Existência e Unicidade.