Calcule as integrais definidas abaixo.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral definida de no intervalo de
a
. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente a integração de funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar das antiderivadas de
e .
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Isso nos permite resolver cada parte individualmente.
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral:
.
Sabemos que a antiderivada de
é
. Então:
Onde
é a constante de integração, que não precisaremos agora já que estamos lidando com integrais definidas.
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda integral: .
A antiderivada de é
. Então:
Passo 5
Juntando as duas partes, a antiderivada completa da função dentro da integral é:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Isso significa que vamos calcular a expressão acima primeiro em
e depois em
, e finalmente subtrair os resultados.
Passo 7
Calculando no limite superior
:
Então:
Passo 8
Calculando no limite inferior
:
Então:
Passo 9
Subtraímos o valor no limite inferior do valor no limite superior:
Para simplificar, podemos escrever como:
Resposta
O valor da integral é
.