Calcule as integrais definidas abaixo.
(h) integral0^pi / 4(5 sec ^2(x)-3 sen(x)) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de no intervalo de a . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente a integração de funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar das antiderivadas de e .

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Isso nos permite resolver cada parte individualmente.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: 5 integral sec^2(x) dx = 5 tan(x) + C .
Sabemos que a antiderivada de é . Então:
Onde é a constante de integração, que não precisaremos agora já que estamos lidando com integrais definidas.

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: .
A antiderivada de é -3 integral sen(x) dx = -3 (-cos(x)) = 3 cos(x) + C . Então:

Passo 5

Juntando as duas partes, a antiderivada completa da função dentro da integral é:
5 tan(x) + 3 cos(x)

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de [5 tan(x) + 3 cos(x)]0^pi4 a :
Isso significa que vamos calcular a expressão acima primeiro em e depois em , e finalmente subtrair os resultados.

Passo 7

Calculando no limite superior tan(pi4) = 1 e cos(pi4) = raiz22 :
5 cdot 1 + 3 cdot raiz22 = 5 + 3raiz22
Então:

Passo 8

Calculando no limite inferior tan(0) = 0 e cos(0) = 1 :
5 cdot 0 + 3 cdot 1 = 0 + 3 = 3
Então:

Passo 9

Subtraímos o valor no limite inferior do valor no limite superior:
(5 + 3raiz22) - 3 = 5 - 3 + 3raiz22 = 2 + 3raiz22
Para simplificar, podemos escrever como:
42 + 3raiz22 = 4 + 3raiz22

Resposta

O valor da integral é .

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