Calcule as integrais definidas abaixo.
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente, integrais que envolvem funções exponenciais e frações complexas. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que possa simplificar a integral. Olhando para o denominador
e o numerador
, percebemos que
é uma parte recorrente. Então, vamos definir:
Agora, precisamos encontrar
em termos de
:
Passo 3
Além disso, precisamos expressar
em termos de
para substituir na integral. De
, temos:
Também, quando
,
, e quando
,
. Agora, podemos reescrever a integral em termos de
.
Passo 4
Substituindo tudo na integral original:
Vamos simplificar a expressão:
Agora, vamos simplificar ainda mais para facilitar a integração.
Passo 5
Observando a expressão, podemos reescrever
como
. Assim:
Vamos fatorar
fora da fração:
Agora, simplificamos
:
Passo 6
Agora, a integral está dividida em duas partes mais simples:
Essas integrais envolvem funções exponenciais divididas por potências de
. Infelizmente, elas não têm soluções em termos de funções elementares, mas podemos expressá-las usando a função exponencial integral,
.
Passo 7
Sabemos que:
E por integração por partes:
Aplicando essas fórmulas às integrais definidas:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o valor da integral definida é:
Onde
é a função integral exponencial.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(h) .
(h)
O plano
intersecta os eixos
e
respectivamente nos pontos
e
. Calcule a área do triângulo
.
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto
que é paralela ao plano
e é perpendicular a reta
.
Calcule as integrais definidas abaixo.
(e)
(e)