Calcule as integrais definidas abaixo.
© integral0^2 x e^2 x(1+2 x)^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral0^2 x e^2 x(1+2 x)^2 , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente, integrais que envolvem funções exponenciais e frações complexas. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que possa simplificar a integral. Olhando para o denominador u = 1 + 2x e o numerador du = 2 , dx Rightarrow dx = du2 , percebemos que é uma parte recorrente. Então, vamos definir:
Agora, precisamos encontrar em termos de :

Passo 3

Além disso, precisamos expressar x = u - 12 em termos de para substituir na integral. De , temos:
Também, quando , , e quando , . Agora, podemos reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integral0^2 x e^2 x(1+2 x)^2 , dx = integral1^5 (u - 12) e^2 (u - 12)u^2 cdot du2
Vamos simplificar a expressão:
= integral1^5 (u - 1) e^u - 14 u^2 , du
= 14 integral1^5 (u - 1) e^u - 1u^2 , du
Agora, vamos simplificar ainda mais para facilitar a integração.

Passo 5

Observando a expressão, podemos reescrever = e^-14 integral1^5 (u - 1) e^uu^2 , du como = e^-14 integral1^5 e^u cdot u - 1u^2 , du . Assim:
= e^-14 integral1^5 e^u ( 1u - 1u^2 ) , du
Vamos fatorar fora da fração:
Agora, simplificamos :

Passo 6

Agora, a integral está dividida em duas partes mais simples:
= e^-14 ( integral1^5 e^uu , du - integral1^5 e^uu^2 , du )
Essas integrais envolvem funções exponenciais divididas por potências de . Infelizmente, elas não têm soluções em termos de funções elementares, mas podemos expressá-las usando a função exponencial integral, .

Passo 7

Sabemos que:
integral e^uu , du = Ei(u) + C
E por integração por partes:
integral e^uu^2 , du = -e^uu + Ei(u) + C
Aplicando essas fórmulas às integrais definidas:
= e^-14 ( [Ei(5) - Ei(1)] - [ -e^55 + e^11 + Ei(5) - Ei(1) ] )
Simplificando:
= e^-14 ( Ei(5) - Ei(1) + e^55 - e )

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é:
e^-14 ( e^55 - e + Ei(5) - Ei(1) )
Onde é a função integral exponencial.

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