Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto
que é paralela ao plano
e é perpendicular a reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto
. Essa reta tem que ser paralela ao plano
e perpendicular a outra reta dada por
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo vetores, planos e retas no espaço tridimensional. Precisamos encontrar o vetor diretor da reta que queremos e depois montar as equações paramétricas usando esse vetor e o ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a reta ser paralela ao plano
. Se uma reta é paralela a um plano, o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano.
O vetor normal do plano
é
, já que são os coeficientes de
,
e
na equação do plano.
Passo 3
Agora, a reta que queremos também deve ser perpendicular à reta
. O vetor diretor dessa reta é
.
Se duas retas são perpendiculares, os seus vetores diretores devem ter produto escalar igual a zero.
Passo 4
Vamos chamar o vetor diretor da reta que queremos de
. Temos duas condições:
-
é perpendicular ao vetor normal do plano: . -
é perpendicular ao vetor diretor da outra reta: .
Vamos montar essas equações.
Passo 5
Primeira condição:
Segunda condição:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre
,
e
.
Passo 7
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, vamos expressar
em termos de
usando a primeira equação:
Passo 8
Agora temos:
Como o vetor diretor pode ser qualquer múltiplo não nulo, podemos escolher
para simplificar:
Passo 9
Finalmente, sabendo o ponto que a reta passa
e o vetor diretor
, podemos escrever as equações paramétricas da reta:
Resposta
As equações paramétricas da reta são: