Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto que é paralela ao plano e é perpendicular a reta .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto . Essa reta tem que ser paralela ao plano e perpendicular a outra reta dada por .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo vetores, planos e retas no espaço tridimensional. Precisamos encontrar o vetor diretor da reta que queremos e depois montar as equações paramétricas usando esse vetor e o ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a reta ser paralela ao plano. Se uma reta é paralela a um plano, o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano.
O vetor normal do plano é , já que são os coeficientes de , e na equação do plano.
Passo 3
Agora, a reta que queremos também deve ser perpendicular à reta . O vetor diretor dessa reta é .
Se duas retas são perpendiculares, os seus vetores diretores devem ter produto escalar igual a zero.
Passo 4
Vamos chamar o vetor diretor da reta que queremos de . Temos duas condições:
é perpendicular ao vetor normal do plano: .
é perpendicular ao vetor diretor da outra reta: .
Vamos montar essas equações.
Passo 5
Primeira condição:
Segunda condição:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre , e .
Passo 7
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, vamos expressar em termos de usando a primeira equação:
Passo 8
Agora temos:
Como o vetor diretor pode ser qualquer múltiplo não nulo, podemos escolher para simplificar:
Passo 9
Finalmente, sabendo o ponto que a reta passa e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta: