Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto (0, 1, 2) que é paralela ao plano x + y + z = 2 e é perpendicular a reta r(t) = (1, 1, 2) + t(1, -1, 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto . Essa reta tem que ser paralela ao plano e perpendicular a outra reta dada por .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo vetores, planos e retas no espaço tridimensional. Precisamos encontrar o vetor diretor da reta que queremos e depois montar as equações paramétricas usando esse vetor e o ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a reta ser paralela ao plano . Se uma reta é paralela a um plano, o vetor diretor da reta deve ser perpendicular ao vetor normal do plano.
O vetor normal do plano é , já que são os coeficientes de , e na equação do plano.

Passo 3

Agora, a reta que queremos também deve ser perpendicular à reta . O vetor diretor dessa reta é .
Se duas retas são perpendiculares, os seus vetores diretores devem ter produto escalar igual a zero.

Passo 4

Vamos chamar o vetor diretor da reta que queremos de . Temos duas condições:
  1. é perpendicular ao vetor normal do plano: .
  2. é perpendicular ao vetor diretor da outra reta: .
Vamos montar essas equações.

Passo 5

Primeira condição:
Segunda condição:

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre , e .

Passo 7

Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, vamos expressar em termos de usando a primeira equação:

Passo 8

Agora temos:
Como o vetor diretor pode ser qualquer múltiplo não nulo, podemos escolher para simplificar:

Passo 9

Finalmente, sabendo o ponto que a reta passa e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:

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