Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(h) integral x ln (x+1) d x.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral indefinida de . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que usamos quando temos o produto de duas funções e facilita a integração desse produto. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser e .

Passo 3

Vamos definir:
u = ln(x + 1)
dv = x , dx
Agora, vamos encontrar du = 1x + 1 , dx e v = integral x , dx = x^22 :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x ln(x + 1) , dx = u , v - integral v , du
= ln(x + 1) cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x + 1 , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a segunda integral:
integral x^22(x + 1) , dx = 12 integral x^2x + 1 , dx
Vamos simplificar a fração x^2x + 1 = x - 1 + 1x + 1 dividindo por :

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
12 integral ( x - 1 + 1x + 1 ) , dx = 12 ( integral x , dx - integral 1 , dx + integral 1x + 1 , dx )
Calculando cada parte:
integral x , dx = x^22
integral 1 , dx = x
integral 1x + 1 , dx = ln|x + 1|

Passo 7

Juntando tudo:
12 ( x^22 - x + ln|x + 1| ) = x^24 - x2 + 12 ln(x + 1)

Passo 8

Voltando à expressão inicial:
integral x ln(x + 1) , dx = x^22 ln(x + 1) - ( x^24 - x2 + 12 ln(x + 1) ) + C
Vamos simplificar:
= x^22 ln(x + 1) - x^24 + x2 - 12 ln(x + 1) + C

Resposta

integral x ln(x + 1) , dx = ( x^22 - 12 ) ln(x + 1) - x^24 + x2 + C

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