Calcule as integrais definidas abaixo.
(d) integral-pi / 2^pi / 2(8 t^2+cos (t)) d t

Passo 1

Vamos calcular a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções polinomiais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração para cada termo da função.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
integral-pi / 2^pi / 2 8 t^2 , dt + integral-pi / 2^pi / 2 cos(t) , dt
Isso funciona porque a integral da soma é a soma das integrais.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: 8 integral t^2 , dt = 8 cdot t^33 = 8 t^33 .
A antiderivada de é , então:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração para essa parte:
8 t^33 |-pi / 2^pi / 2 = 8 (pi/2)^33 - 8 (-pi/2)^33
Calculando cada termo:
8 (pi/2)^33 = 8 (pi^3/8)3 = pi^33
8 (-pi/2)^33 = 8 (-pi^3/8)3 = -pi^33
Então:
pi^33 - (-pi^33) = 2pi^33

Passo 5

Vamos agora resolver a segunda integral: sin(t) |-pi / 2^pi / 2 = sin(pi2) - sin(-pi2) .
A antiderivada de 1 - (-1) = 2 é , então:
Sabemos que e , então:

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
2pi^33 + 2

Resposta

A integral definida é igual a .

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