Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Calcule a integral de superfície
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de integral de superfície. A questão pede para calcular a integral dupla
, onde
é a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria espacial, parametrização de superfícies e cálculo de integrais duplas em coordenadas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Temos uma esfera de raio
(
) e um cilindro de raio
(
) alinhado ao eixo
. A região
é a parte da esfera que está dentro desse cilindro e acima do plano
. Isso significa que estamos interessados na parte da esfera onde
e
.
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, é conveniente usar coordenadas cilíndricas, já que a região está naturalmente descrita por essas coordenadas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E a equação da esfera fica:
Como estamos acima do plano
, consideramos apenas a parte positiva de
.
Passo 4
A integral de superfície
pode ser convertida para coordenadas cilíndricas. Primeiro, substituímos
e
:
Agora, precisamos expressar
na esfera em coordenadas cilíndricas. A fórmula para
em coordenadas cilíndricas na esfera é:
Passo 5
Agora, montamos a integral em coordenadas cilíndricas:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em
:
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Porque a integral de
de
a
é zero.
Passo 7
Como a integral em
é zero, todo o produto da integral dupla será zero, independentemente do valor da outra integral. Portanto, não precisamos calcular a integral em
.
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja
a parte da esfera
que está dentro de
. Determine uma parametrização para a superfície
.
Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por:
.
Calcule as integrais definidas abaixo.
(d)
(d)
Considere o vetor
. Determine: Um vetor com mesma direção e sentido de
e módulo 5 .