Seja S a parte da esfera x^2+y^2+z^2=25 que está dentro do cilindro x^2+y^2=9 e acima do plano x y. Calcule a integral de superfície integral duplaS x y d S

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de integral de superfície. A questão pede para calcular a integral dupla integral duplaS x y , dS, onde S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=25 que está dentro do cilindro x^2+y^2=9 e acima do plano xy. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria espacial, parametrização de superfícies e cálculo de integrais duplas em coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região S. Temos uma esfera de raio 5 ( raiz25) e um cilindro de raio 3 ( raiz9) alinhado ao eixo z. A região S é a parte da esfera que está dentro desse cilindro e acima do plano xy. Isso significa que estamos interessados na parte da esfera onde x^2+y^2 <= 9 e z >= 0.

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, é conveniente usar coordenadas cilíndricas, já que a região está naturalmente descrita por essas coordenadas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E a equação da esfera fica:
r^2 + z^2 = 25 implies z = raiz25 - r^2
Como estamos acima do plano xy, consideramos apenas a parte positiva de z.

Passo 4

A integral de superfície integral duplaS x y , dS pode ser convertida para coordenadas cilíndricas. Primeiro, substituímos x e y:
x y = (r costheta)(r sintheta) = r^2 costheta sintheta
Agora, precisamos expressar dS na esfera em coordenadas cilíndricas. A fórmula para dS em coordenadas cilíndricas na esfera é:
dS = rraiz25 - r^2 , dr , dtheta

Passo 5

Agora, montamos a integral em coordenadas cilíndricas:
integral duplaS x y , dS = integral0^2pi integral0^3 r^2 costheta sintheta cdot rraiz25 - r^2 , dr , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^2pi costheta sintheta , dtheta cdot integral0^3 r^3raiz25 - r^2 , dr

Passo 6

Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em theta:
integral0^2pi costheta sintheta , dtheta
Usando a identidade trigonométrica 2costhetasintheta = sin(2theta), temos:
12 integral0^2pi sin(2theta) , dtheta = 0
Porque a integral de sin(2theta) de 0 a 2pi é zero.

Passo 7

Como a integral em theta é zero, todo o produto da integral dupla será zero, independentemente do valor da outra integral. Portanto, não precisamos calcular a integral em r.

Resposta

A integral de superfície integral duplaS x y , dS é igual a 0.

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