Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Calcule a integral de superfície

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de integral de superfície. A questão pede para calcular a integral dupla , onde é a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria espacial, parametrização de superfícies e cálculo de integrais duplas em coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Temos uma esfera de raio ( ) e um cilindro de raio ( ) alinhado ao eixo . A região é a parte da esfera que está dentro desse cilindro e acima do plano . Isso significa que estamos interessados na parte da esfera onde e .

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, é conveniente usar coordenadas cilíndricas, já que a região está naturalmente descrita por essas coordenadas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E a equação da esfera fica:
Como estamos acima do plano , consideramos apenas a parte positiva de .

Passo 4

A integral de superfície pode ser convertida para coordenadas cilíndricas. Primeiro, substituímos e :
Agora, precisamos expressar na esfera em coordenadas cilíndricas. A fórmula para em coordenadas cilíndricas na esfera é:

Passo 5

Agora, montamos a integral em coordenadas cilíndricas:
Simplificando, temos:

Passo 6

Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em :
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Porque a integral de de a é zero.

Passo 7

Como a integral em é zero, todo o produto da integral dupla será zero, independentemente do valor da outra integral. Portanto, não precisamos calcular a integral em .

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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Seja a parte da esfera que está dentro de . Determine uma parametrização para a superfície .
Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por: .
Calcule as integrais definidas abaixo.
(d)
Considere o vetor . Determine: Um vetor com mesma direção e sentido de e módulo 5 .