Seja a parte da esfera que está dentro de . Determine uma parametrização para a superfície .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A questão nos pede para encontrar uma parametrização para uma parte específica de uma esfera. A esfera é dada pela equação , que tem raio 3. A parte que vamos considerar está dentro da superfície . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre parametrização de superfícies e como usar coordenadas esféricas para facilitar nosso trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar uma superfície. Parametrização é uma forma de representar todos os pontos de uma superfície usando duas variáveis, geralmente chamadas de e no caso de coordenadas esféricas. Isso simplifica muito os cálculos, especialmente quando a superfície tem simetria, como uma esfera.
Passo 3
Vamos usar as coordenadas esféricas para parametrizar a esfera . Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera pode ser representado por:
Aqui, é o raio da esfera, varia de a (ângulo no plano xy), e varia de a (ângulo a partir do eixo z).
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de para a parte da esfera que está dentro de . Vamos reescrever essa equação em coordenadas esféricas:
Simplificando:
Isso significa que vai de até para estar dentro da superfície dada.
Passo 5
Com isso, nossa parametrização para a superfície fica assim: