Considere os pontos e . Determine: O pé da altura relativa à base AC.

Passo 1

Então, galera! O exercício pede para a gente encontrar o “pé da altura” relativa à base AC no triângulo formado pelos pontos A(15/2, -3/2), B(4, 1/2) e C(6, 4). Isso significa que vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas, inclinação e perpendicularidade. Basicamente, vamos encontrar o ponto onde a altura que parte do ponto B corta a base AC.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos A e C para determinar a equação da base AC. Os pontos são A(15/2, -3/2) e C(6, 4).

Passo 3

Vamos calcular a inclinação da reta AC. A inclinação (m) entre dois pontos (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é dada por:
Aplicando os valores:

Passo 4

Agora que temos a inclinação de AC, vamos encontrar a equação dessa reta. Usamos a fórmula da equação da reta:
Usando o ponto A(15/2, -3/2):
Simplificando:

Passo 5

A altura que partirá de B precisa ser perpendicular à base AC. Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações é -1. Então, a inclinação da altura será o inverso negativo de m_AC:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação da altura usando a inclinação m_altura e passando pelo ponto B(4, 1/2):
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar o ponto onde a altura corta a base AC, resolvemos o sistema das duas equações:
Igualando as duas expressões para y:
Multiplicando todos os termos por 66 (mínimo múltiplo comum de 3, 11 e 22) para eliminar os denominadores:
Somando 242x e 39 aos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 260:

Passo 8

Agora, substituímos o valor de x na equação da altura para encontrar y:

Resposta

O pé da altura relativa à base AC é o ponto .

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(d)
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