Calcule as integrais definidas abaixo.
(d) integral-pi / 2^pi / 2(8 t^2+cos (t)) d t

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo a integração de funções polinomiais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar das regras de integração básicas e entender como integrar termos separados dentro de uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma soma é a soma das integrais. Ou seja, podemos separar a integral em duas partes:
integral-pi / 2^pi / 2(8 t^2+cos (t)) dt = integral-pi / 2^pi / 2 8 t^2 dt + integral-pi / 2^pi / 2 cos(t) dt

Passo 3

Vamos começar integrando integral 8 t^2 dt = 8 cdot t^33 = 83 t^3 . Sabemos que a integral de [83 t^3]-pi/2^pi/2 = 83 ((pi2)^3 - (-pi2)^3) é 83 (pi^38 - (-pi^38)) = 83 cdot 2pi^38 = 2pi^33 . Então,
Agora, aplicando os limites de a :
Observando que , temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral cos(t) dt = sin(t) . A integral de [sin(t)]-pi/2^pi/2 = sin(pi2) - sin(-pi2) é 1 - (-1) = 2 . Então,
Aplicando os limites de a :
Sabemos que e , então:

Resposta

Somando as duas partes, a integral definida é:
2pi^33 + 2

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(EXTRA) Calcule o seguinte limite: lim x 1^+ x^1x-1
Considere a função f dada por f(x) = (x + 1) / (x - 1). Pede-se: Esboce o gráfico de y = f(x).
Se f(x) = e^x - 2, 0 <= x <= 2, calcule a soma de Riemann com n = 4 correta até a segunda casa decimal, tomando como pontos amostrais os pontos médios.
Use a Regra do Ponto Médio com o valor dado n para aproximar a integral, isto é, utilize n subintervalos para aproximar a integral usando a Regra do Ponto Médio. Arredonde cada resposta para quatro casas decimais.
(b) integral0^pi / 2 cos ^4(x) d x, n=pi4