(EXTRA) Calcule o seguinte limite:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem potências, especificamente uma forma onde a base está se aproximando de 1 e o expoente está ficando bem grande. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas regras de limite e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com a base e o expoente quando
se aproxima de 1 pela direita (
):
- A base
está se aproximando de 1. - O expoente
tende para , já que está se aproximando de 0 por valores positivos.
Então, estamos diante de uma expressão do tipo
, que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, podemos usar logaritmos para simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos chamar o limite que queremos calcular de
:
Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados para facilitar:
Agora, precisamos calcular
.
Passo 4
Observamos que, quando
se aproxima de 1, tanto o numerador
quanto o denominador
tendem a 0. Isso significa que temos uma indeterminação do tipo
, onde podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
A Regra de L’Hospital nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente quando encontramos
ou
.
Passo 5
Vamos aplicar a Regra de L’Hospital:
Derivada do numerador
em relação a
:
Derivada do denominador
em relação a
:
Então, o limite se torna:
Passo 6
Agora, calculamos o limite simples:
Então, temos:
Passo 7
Para encontrar
, precisamos desfazer o logaritmo natural. Usamos a exponenciação:
Resposta
O limite é igual a
.