(EXTRA) Calcule o seguinte limite: lim x 1^+ x^1x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 1^+ x^1x-1
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem potências, especificamente uma forma onde a base está se aproximando de 1 e o expoente está ficando bem grande. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas regras de limite e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com a base e o expoente quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
  • A base está se aproximando de 1.
  • O expoente tende para , já que está se aproximando de 0 por valores positivos.
Então, estamos diante de uma expressão do tipo , que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, podemos usar logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos chamar o limite que queremos calcular de L = lim x 1^+ x^1x-1 :
ln L = lim x 1^+ ln xx - 1
Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados para facilitar:
Agora, precisamos calcular .

Passo 4

Observamos que, quando se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0. Isso significa que temos uma indeterminação do tipo , onde podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
A Regra de L’Hospital nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente quando encontramos ou .

Passo 5

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital:
Derivada do numerador ln L = lim x 1^+ 1x1 = lim x 1^+ 1x em relação a :
Derivada do denominador em relação a :
Então, o limite se torna:

Passo 6

Agora, calculamos o limite simples:
lim x 1^+ 1x = 11 = 1
Então, temos:
ln L = 1

Passo 7

Para encontrar L = e^ln L = e^1 = e , precisamos desfazer o logaritmo natural. Usamos a exponenciação:

Resposta

O limite é igual a .

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