Use a Regra do Ponto Médio com o valor dado n para aproximar a integral, isto é, utilize n subintervalos para aproximar a integral usando a Regra do Ponto Médio. Arredonde cada resposta para quatro casas decimais.
(b) integral0^pi / 2 cos ^4(x) d x, n=pi4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a Regra do Ponto Médio com subintervalos. A Regra do Ponto Médio faz parte do cálculo numérico, que nos ajuda a aproximar integrais quando não conseguimos calcular de forma exata. Para isso, vamos dividir o intervalo de integração em partes iguais e calcular a média dos valores da função em pontos específicos dentro de cada subintervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a largura de cada subintervalo, chamada de De. Ela é calculada dividindo o comprimento total do intervalo pelo número de subintervalos:
De
Aqui, , e . Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos médios de cada subintervalo. Os pontos médios são onde vamos avaliar a função [0, pi8], [pi8, pi4], [pi4, 3pi8], [3pi8, pi2] . Os limites de cada subintervalo são:
x1^* = 0 + pi82 = pi16
Os pontos médios ( x2^* = pi8 + pi42 = 3pi16 ) são:
x3^* = pi4 + 3pi82 = 5pi16
x4^* = 3pi8 + pi22 = 7pi16

Passo 4

Em seguida, avaliamos a função f(pi16) = cos^4(pi16) em cada um desses pontos médios:
f(3pi16) = cos^4(3pi16)
f(5pi16) = cos^4(5pi16)
f(7pi16) = cos^4(7pi16)
Esses valores podem ser calculados usando uma calculadora científica.

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Ponto Médio que nos dá a aproximação da integral:
Integral approx De
Substituindo os valores:
Integral approx pi8 [ cos^4(pi16) + cos^4(3pi16) + cos^4(5pi16) + cos^4(7pi16) ]

Passo 6

Calculando cada termo:
cos(pi16) approx 0.980785, cos^4(pi16) approx 0.9239
cos(3pi16) approx 0.831470, cos^4(3pi16) approx 0.4764
cos(5pi16) approx 0.555570, cos^4(5pi16) approx 0.0955
cos(7pi16) approx 0.195090, cos^4(7pi16) approx 0.0014
Somando esses valores:
0.9239 + 0.4764 + 0.0955 + 0.0014 = 1.496

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pela Integral approx pi8 times 1.496 approx 0.5889 :

Resposta

A aproximação da integral usando a Regra do Ponto Médio com subintervalos é aproximadamente .

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