Considere a função
dada por
. Pede-se: Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou a função
e quer que eu te ajude a esboçar o gráfico dessa função. Para fazer isso, vamos precisar entender alguns conceitos de funções racionais, como assíntotas, interceptos e comportamento da função. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, vemos que o denominador não pode ser zero porque divisão por zero não existe. Então, vamos resolver:
Então, o domínio é todos os reais exceto
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as assíntotas. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima mas nunca toca. Existem dois tipos principais: vertical e horizontal.
Assíntota Vertical:
Ocorre onde o denominador é zero e a função não está definida. Já vimos que faz o denominador zero, então há uma assíntota vertical em:
Ocorre onde o denominador é zero e a função não está definida. Já vimos que
Assíntota Horizontal:
Para encontrar a assíntota horizontal, observamos o comportamento da função quando vai para infinito. No caso de funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes. Aqui, ambos os coeficientes são 1, então:
Para encontrar a assíntota horizontal, observamos o comportamento da função quando
Então, há uma assíntota horizontal em:
Passo 4
Vamos encontrar os interceptos com os eixos.
Intercepto com o eixo Y:
Para encontrar o intercepto com o eixo Y, basta avaliar :
Para encontrar o intercepto com o eixo Y, basta avaliar
Então, o intercepto com o eixo Y é o ponto
.
Intercepto com o eixo X:
Para encontrar o intercepto com o eixo X, precisamos resolver :
Para encontrar o intercepto com o eixo X, precisamos resolver
Então, o intercepto com o eixo X é o ponto
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função em torno das assíntotas.
Para
próximo de 1:
- Se
se aproxima de 1 pela direita ( ), o denominador é positivo e pequeno, então tende a . - Se
se aproxima de 1 pela esquerda ( ), o denominador é negativo e pequeno, então tende a .
Para
indo para
ou
:
A função se aproxima da assíntota horizontal .
A função se aproxima da assíntota horizontal
Passo 6
Vamos plotar alguns pontos adicionais para ter mais precisão no esboço do gráfico.
Escolhendo alguns valores de
:
-
: Ponto -
: Ponto -
:
Já encontramos -
:
Já encontramos
Esses pontos ajudam a visualizar melhor o gráfico.
Resposta
Com todas essas informações, o gráfico de
possui uma assíntota vertical em
, uma assíntota horizontal em
, interceptos nos pontos
e
, e passa pelos pontos adicionais
e
. O gráfico é uma hipérbole que se aproxima das assíntotas e passa pelos pontos calculados.