Considere a função f dada por f(x) = (x + 1) / (x - 1). Pede-se: Esboce o gráfico de y = f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a função e quer que eu te ajude a esboçar o gráfico dessa função. Para fazer isso, vamos precisar entender alguns conceitos de funções racionais, como assíntotas, interceptos e comportamento da função. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , vemos que o denominador não pode ser zero porque divisão por zero não existe. Então, vamos resolver:
Então, o domínio é todos os reais exceto .

Passo 3

Agora, vamos identificar as assíntotas. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima mas nunca toca. Existem dois tipos principais: vertical e horizontal.
Assíntota Vertical:
Ocorre onde o denominador é zero e a função não está definida. Já vimos que faz o denominador zero, então há uma assíntota vertical em:
Assíntota Horizontal:
Para encontrar a assíntota horizontal, observamos o comportamento da função quando vai para infinito. No caso de funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes líderes. Aqui, ambos os coeficientes são 1, então:
Então, há uma assíntota horizontal em:

Passo 4

Vamos encontrar os interceptos com os eixos.
Intercepto com o eixo Y:
Para encontrar o intercepto com o eixo Y, basta avaliar :
Então, o intercepto com o eixo Y é o ponto .
Intercepto com o eixo X:
Para encontrar o intercepto com o eixo X, precisamos resolver :
Então, o intercepto com o eixo X é o ponto .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função em torno das assíntotas.
Para próximo de 1:
  • Se se aproxima de 1 pela direita ( ), o denominador é positivo e pequeno, então tende a .
  • Se se aproxima de 1 pela esquerda ( ), o denominador é negativo e pequeno, então tende a .
Para indo para ou :
A função se aproxima da assíntota horizontal .

Passo 6

Vamos plotar alguns pontos adicionais para ter mais precisão no esboço do gráfico.
Escolhendo alguns valores de :
  • :
    Ponto
  • :
    Ponto
  • :
    Já encontramos
  • :
    Já encontramos
Esses pontos ajudam a visualizar melhor o gráfico.

Resposta

Com todas essas informações, o gráfico de possui uma assíntota vertical em , uma assíntota horizontal em , interceptos nos pontos e , e passa pelos pontos adicionais e . O gráfico é uma hipérbole que se aproxima das assíntotas e passa pelos pontos calculados.

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