Calcule as integrais definidas abaixo.
(d) integral-pi4^pi4 sen^2(x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de no intervalo de a . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas. Precisaremos aplicar uma identidade trigonométrica para simplificar a função antes de integrá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que facilita a integração de sin^2(x) = 1 - cos(2x)2 . A identidade é:
Essa identidade nos permite reescrever de uma forma que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos:
integral-pi4^pi4 sin^2(x) , dx = integral-pi4^pi4 1 - cos(2x)2 , dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
12 integral-pi4^pi4 1 , dx - 12 integral-pi4^pi4 cos(2x) , dx

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Para a primeira integral:
integral-pi4^pi4 1 , dx = [ x ]-pi4^pi4 = pi4 - (-pi4) = pi2

Passo 5

Para a segunda integral:
integral-pi4^pi4 cos(2x) , dx
A antiderivada de [ sin(2x)2 ]-pi4^pi4 = sin(pi2)2 - sin(-pi2)2 = 12 - (-12) = 1 é . Então:

Passo 6

Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão original:
12 cdot pi2 - 12 cdot 1 = pi4 - 12

Resposta

A integral definida é:
pi4 - 12

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