Suponha que a velocidade de um carro é v(t), para t > 0. Usando a ideia do exercício acima, escreva a expressão da aceleração a(t) em termos de um limite envolvendo a aceleração média. Em seguida, determine a aceleração no caso em que v(t) = cos(t).
Dica: para o cálculo do limite, lembre que cos(a+b) = cos(a) * cos(b) - sen(a) * sen(b) e use o exercício 5

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a velocidade de um carro dada por para . Queremos encontrar a expressão da aceleração usando a ideia de aceleração média através de um limite. Depois, vamos calcular essa aceleração no caso específico em que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, como a velocidade muda conforme o tempo passa. Matematicamente, a aceleração instantânea pode ser definida como o limite da aceleração média quando o intervalo de tempo tende a zero.
A aceleração média entre dois instantes e é dada por:
é
Então, a aceleração instantânea é o limite quando se aproxima de 0:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao caso específico onde . Precisamos encontrar , então vamos substituir na fórmula:

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos usar a identidade trigonométrica que foi dada na dica:
Aplicando isso na expressão :
Substituindo na expressão da aceleração:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Sabemos que, para o limite quando :
Aplicando isso na expressão:

Resposta

A aceleração quando é .

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