Suponha que a velocidade de um carro é
, para
. Usando a ideia do exercício acima, escreva a expressão da aceleração
em termos de um limite envolvendo a aceleração média. Em seguida, determine a aceleração no caso em que
.
Dica: para o cálculo do limite, lembre que
e use o exercício 5
Dica: para o cálculo do limite, lembre que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a velocidade de um carro dada por
para
. Queremos encontrar a expressão da aceleração
usando a ideia de aceleração média através de um limite. Depois, vamos calcular essa aceleração no caso específico em que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, como a velocidade muda conforme o tempo passa. Matematicamente, a aceleração instantânea
pode ser definida como o limite da aceleração média quando o intervalo de tempo tende a zero.
A aceleração média entre dois instantes
e
é dada por:
Então, a aceleração instantânea
é o limite quando
se aproxima de 0:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao caso específico onde
. Precisamos encontrar
, então vamos substituir
na fórmula:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos usar a identidade trigonométrica que foi dada na dica:
Aplicando isso na expressão
:
Substituindo na expressão da aceleração:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Sabemos que, para o limite quando
:
Aplicando isso na expressão:
Resposta
A aceleração
quando
é
.