Considere a função f: [-2, 3] -> R dada por f(x) = 2*x^3 - 3*x^2 - 12*x + 1.
© Use o Teste da Primeira Derivada para encontrar os pontos de máximo local e mínimo local de f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste da Primeira Derivada para encontrar os pontos de máximo local e mínimo local da função no intervalo de .
Conteúdo da matéria: Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas, como elas nos ajudam a encontrar onde a função está crescendo ou diminuindo, e como identificar os pontos onde muda de comportamento, que são os pontos de máximo e mínimo locais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se a função está aumentando ou diminuindo naquele ponto.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. Como nossa derivada é um polinômio, ela existe para todo .
Então, resolvemos :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos dois valores críticos:

Passo 4

Agora que encontramos os valores críticos e , vamos usar o Teste da Primeira Derivada para determinar se cada um deles é um ponto de máximo ou mínimo local.
O teste funciona assim:
  1. Escolhemos intervalos ao redor de cada valor crítico.
  2. Verificamos o sinal da derivada nesses intervalos.
  3. Se a derivada muda de positiva para negativa, temos um máximo local.
  4. Se a derivada muda de negativa para positiva, temos um mínimo local.

Passo 5

Vamos analisar cada valor crítico:
Para :
  • Escolhemos pontos à esquerda e à direita de , por exemplo, e .
  • Calculamos :
  • Calculamos :
Interpretação: A derivada passa de positiva para negativa quando passamos por . Então, é um máximo local.
Para :
  • Escolhemos pontos à esquerda e à direita de , por exemplo, e .
  • Calculamos :
  • Calculamos :
Interpretação: A derivada passa de negativa para positiva quando passamos por . Então, é um mínimo local.

Resposta

Utilizando o Teste da Primeira Derivada, a função possui:
  • Máximo local em
  • Mínimo local em

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