Considere a função
dada por
.
© Use o Teste da Primeira Derivada para encontrar os pontos de máximo local e mínimo local de
.
© Use o Teste da Primeira Derivada para encontrar os pontos de máximo local e mínimo local de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste da Primeira Derivada para encontrar os pontos de máximo local e mínimo local da função
no intervalo de
.
Conteúdo da matéria: Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas, como elas nos ajudam a encontrar onde a função está crescendo ou diminuindo, e como identificar os pontos onde muda de comportamento, que são os pontos de máximo e mínimo locais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, se a função está aumentando ou diminuindo naquele ponto.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é igual a zero ou não existe. Como nossa derivada
é um polinômio, ela existe para todo
.
Então, resolvemos
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos dois valores críticos:
Passo 4
Agora que encontramos os valores críticos
e
, vamos usar o Teste da Primeira Derivada para determinar se cada um deles é um ponto de máximo ou mínimo local.
O teste funciona assim:
- Escolhemos intervalos ao redor de cada valor crítico.
- Verificamos o sinal da derivada nesses intervalos.
- Se a derivada muda de positiva para negativa, temos um máximo local.
- Se a derivada muda de negativa para positiva, temos um mínimo local.
Passo 5
Vamos analisar cada valor crítico:
Para
:
-
Escolhemos pontos à esquerda e à direita de
, por exemplo, e . -
Calculamos
:
- Calculamos
:
Interpretação: A derivada passa de positiva para negativa quando passamos por
. Então,
é um máximo local.
Para
:
-
Escolhemos pontos à esquerda e à direita de
, por exemplo, e . -
Calculamos
:
- Calculamos
:
Interpretação: A derivada passa de negativa para positiva quando passamos por
. Então,
é um mínimo local.
Resposta
Utilizando o Teste da Primeira Derivada, a função
possui:
- Máximo local em
- Mínimo local em